matematikk.net

Oppgaven kan falle vanskelig :

Tredjegradspolynomet P(x) har et toppunkt i (-1,17) og et vendepunkt i (1,1).
Finn funksjonsuttrykket P (x)

Den oppgaven mener jeg å huske fra sinusboka på forkurs..

Det hjelper kanskje å sette opp det du vet om den deriverte og dobbelderiverte

Jeg har for å si det slik prøvd en del mulige veier i et intervall som jeg vet om. Ikke no spes enn å finne punktene liksom...

Har tegnet grafen, med topppunktet eller den hule siden ned i -1,17 kordinatene og vendepunktet,grafen tror jeg ble riktig. Kanskje burde man kjøre tilbakeveien fra tagenten....hm....det var en tenkeoppgave ass...

Ja, det er ei tenkeoppgave hvor du må bruke hele huet.

Et generelt tredjegradspolynom kan skrives [tex]P(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex]. Hvis du med hjelp av opplysningene kan finne ut av hva a-d er, er du i mål.

Det var en god tips

Okey matematikere. Jeg fant d = 12 fordi når toppunktet går nedover fra (-1,17) kordinatene til vendepunktet sitt så skjærer den gjennom y-aksen på punkt 12. Videre fortsetter grafen nedover gjennom sitt påtruffende vendepunkt som har kordinatene (1,1) og skjærer altså x aksen på x=1. Dermed er a= 1 .

Vel da har jeg jenter og gutter :

[tex]P (x)= x^3+bx^2+cx+12[/tex] Hmm, litt av en funksjon...

Det stemmer at a=1 og d=12, hvordan kan du bruke dette videre for å finne b og c?

Vet ikke helt om metoden du fant a og d på ville hjulpet deg stort uten fasit.. :p

trikset her er å sette opp

P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
P'(x)=3ax^2+2bx+c
P''(x)=6ax+2b

Du vet at P'(x)=0 når x=-1

Du vet at P''(x)=0 når x=1

Ut fra dette danner du deg en rekke ligninger, som du kan løse.

Du ender til slutt opp med: [tex]x^3-3x^2-9x+12[/tex]

Det falt virkelig vanskelig på meg,jeg har prøvd med derivering på enkelte likninger men uten lykke...

Du har 4 opplysninger om P(x):

1. Punktet (-1,17) ligger på grafen. Det vil si at P(-1)=17
2. Punktet (1,1) ligger på grafen. Det vil si at P(1)=1
3. Punktet (-1,17) er et topp-punkt. Det vil si at P'(-1)=0
4. Punktet (1,1) er et vendepunkt. Det vil si at P''(1)=0

Dette er 4 ligninger, med 4 ukjente nemlig a,b,c og d.

Nå har jeg prøvd å "leke" med toppunkt og vendepunktsformler som P `( x) =0 og P"(x)=0,men får det ikke til å få funksjonsuttrykket.

Kan sikkert hjelpe deg, men tar forbehold om feil i og med klokken er snart ett om natten

Du vet at et tredjegradspolynom ser slik ut; [tex]P(x) = ax^3+bx^2+cx+d[/tex]. Dette er noe du kan utnytte.

Utifra det du har opplyst tenker du at (-1,17) ligger på grafen, som gir [tex] P(-1)=17[/tex]

For dette setter du opp;
-a+b-c+d=17 (vi kaller dette likning 1)

(1,1) ligger på grafen og gir [tex]P(1)=1[/tex]
Vi setter opp: a+b+c+d=1 (likning 2)

[tex]P \prime (x) = 3ax^2+2bx+c[/tex]
[tex]P \prime (-1) =0[/tex]

3a-2b+c=0 (likning 3)

((1,1) et vendepunkt gir)
[tex]P \prime \prime (x)=6ax+2b[/tex]
[tex]P \prime \prime (1)=0[/tex]

6a+2b=0 (likning 4)

(1)+(2) gir: 2b+2d=18
b+d=9 (likning 5)
(2)-(-1) gir 2a + 2c = -16 .. vi deler på 2 og får a + c = -8 (likning 6)

Nå begynner vi å nærme oss noe vi kan bruke

(3)+(4) gir 9a+c=0 (likning 7)
(7)-(6) gir 8a=8

a=1 som i (6) gir 1+c=-8 .. da blir c=-9

Dette innsatt i (3) gir [tex] (3 * 1) - 2b - 9 = 0 \rightarrow -6 - 2b[/tex] vi deler på 2 og får b=-3

Innsatt i (1) gir [tex]-1-3+9+d=17[/tex] som konsekvens blir da d=12

[tex]P(x)=x^3-3x^2-9x+12[/tex]

Tar forbehold om feil (i og med jeg er stuptrøtt), men mener på at det der skal være sånn ca. lik fasitsvaret ditt. Lykke til videre

Det som står etter likning 4 skjønner jeg ikke.....

(1)+(2)=2b+2d=18

Altså likning 1 og 2 gir 17+1 = 18

Men du skriver :
2b+2d = 18

Hvor kommer 2b og 2d fra?

Etter dette er det også uforståelig,det er mange tall men står ikke hva de tallene er for no ,eller hvordan du kom fram til å få de bokstavene til å få et tall bak seg .Også forstod jeg heller ikke hvordan du fikk a til å bli et viss tall.


Altså etter likning 4 var det ikke lett for meg . Håper på en detaljert oversikt av hvordan hvert enkelt tall eller bokstav får sin fraflyttning til en viss plass.

Takker frem til likning 4

arildno skrev:Du har 4 opplysninger om P(x):

1. Punktet (-1,17) ligger på grafen. Det vil si at P(-1)=17
2. Punktet (1,1) ligger på grafen. Det vil si at P(1)=1
3. Punktet (-1,17) er et topp-punkt. Det vil si at P'(-1)=0
4. Punktet (1,1) er et vendepunkt. Det vil si at P''(1)=0

Dette er 4 ligninger, med 4 ukjente nemlig a,b,c og d.

Ta utgangspunkt i dette og prøv selv! dette var også fremgangsmåten min

P(-1)=17 dvs. [tex]a(-1)^3+b(-1)^2+(-1)c+d=17[/tex]
P(1)=1
P'(-1)=0
P''(1)=0

Dette GIR 4 likninger med 4 ukjente som kan løses

Velkommen til forumet dominat0r, men husk for framtiden at du hjelper andre best ved å gi hint og lar dem prøve selv, ikke ved å gi fullstendige løsninger. Å gi fullstendige løsningsforslag kan ofte være det samme som å hjelpe andre til å lure seg selv. Dersom du har lyst til å prøve deg på oppgaver er nøtteforumet tilgjengelig

Nå har jeg det :

Toppunkt [tex](-1,17)[/tex] bunnpunkt [tex](1,1)[/tex]

Da vet vi at :
1.Toppunkt = [tex]P (-1)=17[/tex] fordi det ligger på grafen.
2.Bunnpunkt= [tex] P(1)=1[/tex] også fordi det ligger på grafen.

Toppunktdefinisjonsuttrykket [tex]P`(x)=0[/tex]
Vendepunktsdefinisjonsuttrykket [tex]P"(x)=0[/tex]

3.Da er toppunkt her definert som [tex]P`(-1)=17[/tex]
4.Bunnpunkt [tex]P"(1)=1[/tex]

Utnytter [tex]ax^3+bx^2+cx+d=0[/tex] slik for de fire ulike likningene med 4 ukjente :

For likning 1 der [tex]P(-1)=17[/tex]:
[tex]a(-1)^3+b(-1)^2^+(-1)c+d=17[/tex]
1.[tex]-a+b-c+d=17[/tex]

For likning 2 der [tex]P(1)=1[/tex]
[tex]a(1)^3+b(1)^2+c*1+d=1[/tex]
2.[tex]a+b+c+d=1[/tex]

For likning 3 der [tex]P`(-1)=0[/tex]som etter deriveringen gir:[tex]3ax^2+2bx+c=0[/tex]
Da er
[tex]3a*(-1)^2b*(-1)+c=0[/tex]
3.[tex]3a-2b+c=0[/tex]

For likning 4 der [tex]P"(1)=0[/tex] etter andrederiveringen gis dette uttrykket :
[tex]6ax+2b=0[/tex]
[tex]6a*1+2b=0[/tex]
4.[tex]6a+2b=0[/tex]

Dette gir [tex]\frac{2b}{2}=\frac{-6a}{2}[/tex]
[tex]b=-3a[/tex]

Da går vi baklengs og setter i uttrykkene ettersom vi finner de forskjellige uttrykkene for bokstaven,nå fant vi uttrykket for b, da setter vi inn i likning 3 og finner et uttrykk igjen fra likning 3 som fvi setter i likning 2 der vi finner enda et uttrykk i likning 2 som vi setter i likning 1. Til slutt setter vi inn uttrykket i tredjegradslikningen for da har vi funnet alle uttrykkene for bokstavene , altså de ukjente. Det blir dermed slik for uttrykk b som vi begynner å sette i likning 3 slik :

[tex]3a-2b+c=0[/tex]
[tex]3a-2*(-3a)+c=0[/tex]
[tex]3a+6a=0[/tex]
[tex]c=-9a[/tex]

Uttrykket for c og b setter vi i likning 2 som forklart:
[tex]a+b+c+d=1[/tex]
[tex]a+(-3a)+(-9a)+d=1[/tex]
[tex]-11a+d=1[/tex]
[tex]d=1+11a[/tex]

Uttrykket for d, b og c setter vi inn i likning 1 slik :
[tex]-a+(-3a)-(-9a)+(1+11a)=17[/tex]
[tex]-4a+9a+11a=17-1[/tex]
[tex]16a=16[/tex]
[tex]\frac{16a}{16}=\frac{16}{16}[/tex]
[tex]a=1[/tex]

Da som vi har funnet uttrykket for a kan vi enkelt finne uttrykket for d som vi finner slik :
[tex]d=1+11*1=12[/tex]
[tex]d=12[/tex]

Da som [tex]b=-3a[/tex] er [tex]-3*1=-3[/tex] fordi a =1

Og det samme gjelder når [tex]c=-9a[/tex] er [tex]c=-9*1=-9[/tex]

Da har vi alle de trengte uttrykkene for de ukjente boksavene å fullføre innsettingen av tall i tredjegradslikningen.

Nemlig :
[tex]a=1[/tex]
[tex]b=-3[/tex]
[tex]c=-9[/tex]
[tex]d=12[/tex]

Setter det i Tredjegradspolynomet [tex]P (x) = ax^3+bx^2+cx+d[/tex]

Innsetter verdiene :

[tex]P(x)=(1)x^3+(-3)x^2+(-9)x+12[/tex]

Da har vi funksjonsuttrykket :
[tex]x^3-3x^2-9x+12[/tex]

Dette er en fantastisk oppgave,man må bare sette seg i det .

Takk til alle deltakere.Spesielt til absolutt alle.