klassiske konstruksjonsproblemer

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
tolill
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 5
Registrert: 02/01-2005 20:11

Heisann.

Sitter å tygger på hvorfor en tredeling av en vilkårlig vinkel ved hjelp av konstruksjon ikke er mulig å gjennomføre. Er det noen som kan forklare meg det. Har forsøkt og ser at det ikke går, men har ingen grei forklaring på hvorfor... :D
Gjest

For å kunna svara på dette i utgangspunktet geometriske spørsmålet, så må me innom abstrakt algebra. Svaret kan finnast i dei fleste lærebøker i gruppeteori (med andre ord: du må nok ha studert ein del matematikk før du finn det); eg kjem her med ein ufullstendig kortversjon:

Me tek utgangpunkt i eit punkt O (origo), to ortogonale aksar gjennom O(x- og y-aksen; ortogonal betyr at det er 90 grader mellom dei), og to punkt (1,0) og (0,1). Eit reelt tal []c[/i] vert rekna som konstruerbart dersom me kan konstruera punktet ([]c[/i],0) berre ved hjelp av passar og ein umerka linjal, og me let C vera mengda av konstruerbare reelle tal.

Mengda av konstruerbare tal er ein delkropp til R (dei reelle tala), dvs. at den oppfyller fylgjande reglar:
(I) Dersom a og b er konstruerbare, så er også a + b konstruerbar.
(II) Dersom a og b er konstruerbare, så er også ab konstruerbar.
(III) a + b = b + a, ab = ba, etc. (gjeld for reelle tal generelt).

Dersom a > 0 er konstruerbart, så er også [rot][/rot]a konstruerbar (vis det! Hint: Me har ein sirkel med diameter a + 1, og merker av eit punkt som ligg a frå eine enden av ein diameter og 1 frå den andre enden. Så slår me opp ein normal i dette punktet.) Mykje arbeid vidare (og nokre studiepoeng i matematikk)...

Dersom ei likning ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ikkje har rasjonelle røter, så kan ikkje røtene til likninga konstruerast ved hjelp av passar eller linal. For tredeling av ein 60-graders vinkel skal me prøva å konstruera cos 20. Me veit at cos 3a = 4(cos a)^3 - 3cos a (dette kan utleiast ved utgangspunkt i cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b), og dermed likninga 4x^3 - 3x - cos 60, eller 8x^3 - 6x - 1 = 0 (som har rot cos 20). Dersom likninga hadde ei rasjonell rot m/n, m og n utan felles faktorar, så måtte 8m^3/n^3 - 6m/n - 1 = 0, dvs. 8m^3 - 6mn^2 - n^3 = 0, eller m = 1 og n deler 8. Me har altså moglege røter 1, - 1, 1/2, -1/2, 1/4, -1/4, 1/8 og -1/8, men ingen av desse går. Likninga har altså ingen rasjonelle røter, og ingen av røtene er difor konstruerbare, ei heller cos 20.
Gjest

Tusen hjertelig takk.

Det var kjekt å kunne lese en fornuftig forklaring på norsk! Jeg aner ikke hvor mye engelsk litteratur jeg har lest og forsøkt å få til å forstå angående temaet.

Det jeg har fått med meg er at dette ligger langt over mine forsøk på ti vektall i matematikk...så jeg forstår ikke hva vår gode snille foreleser mente med å gi oss en slik oppgave... :)

Men...jeg har nesten klart å gi en lignende forklaring på problemet...dog ikke helt. Det hjalp veldig med en forklaring på morsmålet!

Ok...ha en fortsatt trivelig lørdagskveld.

Tolill
Gjest

Tusen hjertelig takk.

Det var kjekt å kunne lese en fornuftig forklaring på norsk! Jeg aner ikke hvor mye engelsk litteratur jeg har lest og forsøkt å få til å forstå angående temaet.

Det jeg har fått med meg er at dette ligger langt over mine forsøk på ti vektall i matematikk...så jeg forstår ikke hva vår gode snille foreleser mente med å gi oss en slik oppgave... :)

Men...jeg har nesten klart å gi en lignende forklaring på problemet...dog ikke helt. Det hjalp veldig med en forklaring på morsmålet!

Ok...ha en fortsatt trivelig lørdagskveld.

Tolill.

PS. Ser litt for seint at jeg egentlig kanskje burde ha svart deg på nynorsk, men jeg er redd du hadde gjennomskuet meg alt for raskt. Jeg er ikke så flink...dessverre.



Tolill
Gjest

Eg svarte deg på nynorsk, sjølv om du skreiv på bokmål, og du svarte meg på bokmål, sjølv om eg skreiv på nynorsk, og no svarte eg igjen på nynorsk, sjølv om du skreiv på bokmål. Eg trur ikkje akkurat at det er eit stort problem. :)
Svar