matematikk.net

Fant et titalls integrasjonsoppgaver fra videregående som var ment som ekstratrening eller for de spesielt interesserte.

Her kan VGS-elever i alle trinn prøve seg på disse ettersom vanskelighetsgraden er varierende. En fin mulighet til å stramme seg opp i integrasjon og få pussa opp litt etter alt hjernesvinnet fra romjulsfestinga.

[tex]I_1=\int(x^2+3)^5x \rm{d}x[/tex]

[tex]I_2 =\int\(\sqr{x^2+9}\cdot 3x)\ \rm{d}x[/tex]

[tex]I_3 =\int\frac{2x}{x^2-3x+2}\rm{d}x[/tex]

[tex]I_4 =\int \frac{e^{\sqr{x}}}{\sqr{x}} \rm{d}x[/tex]

[tex]I_5 =\int2\tan^2(x) \rm{d}x\,\,\,\,\,\,\,\, I_6=\int \cos^2(x) \rm{d}x\,\,\,\,\,\,\,\, I_7=\int \sin^2(x) \rm{d}x [/tex]

[tex]I_8=\int \frac{x^3+x^2-x}{x^2}\rm{d}x[/tex]

[tex]I_9=\int \ln(x)\rm{d}x[/tex]

[tex]I_{10}=\int \frac3{2^x}\rm{d}x[/tex]

[tex]I_{11}=\int x^2\sqr{x}\rm{d}x[/tex]

[tex]I_{12}=\int \frac1{\tan(x)}\rm{d}x[/tex]

Lykke til

Hm, finnes det noen enkel løsning på [tex]I_3[/tex] uten brøkoppspalting?

Kan ikke se noen effektiv måte utenom delbrøksoppspalting, men den kan jo forenkles litt.

[tex]I_3 = \int\frac{2(x-1)+2}{(x-2)(x-1)}\rm{d}x = 2\int\frac{1}{x-2}\rm{d}x + 2\int\frac{1}{(x-2)(x-1)}\rm{d}x = 2\int\frac{\rm{d}u}{u} + 2\int\frac{\rm{d}u}{u(u-1)} \\ \text{Hvor} \ u = x-2[/tex]

Kommer vel ikke så langt her heller uten delbrøkoppspalting?

Tror de fleste som ikke kan delbrøkoppspalting (Det er ikke videregående pensum for øyeblikket) ville hatt problemer med dette integralet.

Må anvende delbrøksoppspaltning til syvende og sist ja. Så er enig med deg, i og med at det ikke er pensum for øyeblikket.

Den kan også løses uten delbrøkoppspaltning:
[tex]\int \frac{2x}{x^2 - 3x +2} \rm{d}x = \int \left( \frac{2x-3}{x^2 - 3x +2} + \frac{3}{x^2 - 3x +2} \right) \rm{d}x = \ln|x^2-3x+2| + \int \frac{3}{(x-\frac 3 2)^2 - \frac 1 4} \rm{d}x \\ = \ln|x^2-3x+2| -12\rm{arctanh} (x- \frac{3}{2}) + C[/tex]

... Men det er vel fremdeles ikke ordinært vgs-pensum.

Er [tex]\arctan h(x) = \frac{1}{2}(\ln(x+1)-\ln(1-x))[/tex] ?

Det stemmer det Det er den inverse funksjonen til tangens hyperbolikus.

Fikk lyst til å prøve på et par...

[tex]\int(x^2+3)^5xdx=\frac{1}{2}\int (x^2+3)^52xdx=\frac{1}{2}\int u^5u^{\prime}dx=\frac{1}{2}\int u^5du=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5+1}u^{5+1}+C=\frac{1}{12}(x^2+3)^6+C [/tex]

[tex]\int(sqrt{x^2+9}\cdot 3x)dx=\frac{3}{2}\int 2x\sqrt{x^2+9}dx=\frac{3}{2}\int u^{\prime}\sqrt{u}dx=\frac{3}{2}\int\sqrt{u}du=\frac{3}{2}\int u^{\frac{1}{2}}du=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}+1}u^{\frac{1}{2}+1}+C=\frac{3}{2\cdot\frac{3}{2}}u^{\frac{3}{2}}+C=u^{\frac{3}{2}}+C=(x^2+9)^{\frac{3}{2}}+C[/tex]

[tex]\int\frac{e^{sqrt{x}}}{sqrt{x}}dx=\int x^{-\frac{1}{2}}e^x^{\frac{1}{2}}dx=2\int u^{\prime}e^udx=2\int e^udu=2e^{sqrt{x}}+C[/tex]

Integral 12:

[tex]I_{12}=\int\frac{1}{tan\,x}\rm{d}x=\int\frac{cos(x)}{sin(x)}\rm{d}x \\ u=sin\,x \\ \rm{d}u=cos\,x\,\rm{d}x \\ I_{12}=\int\frac{1}{u}\rm{d}u=\ln|u|+C \\ I_{12}=\underline{\underline{I_{12}=\ln|sin\,x|+C}}[/tex]

EDIT:
La til konstanten C.

Integrasjon, er det pensum for tredjeklasse? Har r1-boka foran meg og finner ingenting om integrasjon (hvis ikke navnet er endret).

Integrasjon begynner ikke før R2.

[tex]\int 2tan^2xdx=2\int\frac{sin^2x}{cos^2x}dx=2\int sin^2x \cdot \frac{1}{cos^2x}dx=-2\int u^{\prime}\cdot \frac{1}{u}dx=-2\int \frac{1}{u}du=-2ln|u|+C=-2ln|cosx|+C[/tex]

[tex]\int cos^2xdx=\frac{1}{2}\int(cos(2x)+1)dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}sin(2x)+\frac{1}{2}x+C=\frac{1}{4}sin(2x)+\frac{1}{2}x+C=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}sin(2x)+x)+C[/tex]

[tex]\int sin^2xdx=\frac{1}{2}\int(1-cos(2x))dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}sin(2x)+C=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}sin(2x))+C [/tex]

Kan dette stemme? Får litt andre svar av integrasjonmaskinen, men det kommer jo sikkert også litt an på hvilken metode man bruker.

[tex]\int lnxdx=\int 1\cdot lnx dx[/tex]
u=ln x , v'=1 , u'=1/x og v=x

[tex]\int lnxdx=xlnx-\int \frac{1}{x}\cdot xdx=xlnx-\int dx=xlnx-x+C=x(lnx-1)+C[/tex]

Mari89 skrev:[tex]\int 2tan^2xdx=2\int\frac{sin^2x}{cos^2x}dx=2\int sin^2x \cdot \frac{1}{cos^2x}dx=-2\int u^{\prime}\cdot \frac{1}{u}dx=-2\int \frac{1}{u}du=-2ln|u|+C=-2ln|cosx|+C[/tex]
Kan dette stemme? Får litt andre svar av integrasjonmaskinen, men det kommer jo sikkert også litt an på hvilken metode man bruker.

Nr 2, 3 og 4 ser bra ut. Integralet over er feil. Skal vise en lur måte å løse dette på:

vi veit at: [tex]\,\,(\tan(x))^,=1\,+\,\tan^2(x)[/tex]
integrer så begge sider, slik at:

[tex]2\int (\tan(x))^,\,{\rm dx}=2\int (1\,+\,\tan^2(x))\,{\rm dx}[/tex]

[tex]2\tan(x)=2\int {\rm dx}\,+\,2\int \tan^2(x) {\rm dx}[/tex]

[tex]2\int \tan^2(x)\,{\rm dx}=2(\tan(x)\,-\,x)\,+\,C[/tex]

Ah, så lurt! Hadde ikke greid å tenke ut det sjøl. Takk skal du ha