matematikk.net

[tex]\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^3-27}{x-3}[/tex]

Jeg tar polynomdivisjon og får:

[tex]x^3-27=(x^2-3x+9)(x-3)[/tex]

[tex]\lim_{x\rightarrow3}\frac{(x^2-3x+9)(x-3)}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}x^2-3x+9=3^2-3*3+9=9[/tex]

MEN, ifølge fasiten skal svaret bli 27. Har jeg brukt feil fremgangsmåte?

Bor du i vennesla ?
Samme oppgave holder jeg på med, NÅ. (Lekse)

Du har utført polynomdivisjonen feil. Det skal bli [tex]x^3-27 = (x^2+3x+9)(x-3)[/tex]. Og da ser du at det stemmer.

^Åja, takk!

mathme: Nei, bor nok ikke der.

Slenger inn en oppgave jeg står litt fast på

[tex]\lim_{x\rightarrow[/tex][symbol:plussminus][symbol:uendelig][tex]\frac{3x^2+2}{x^2+2x}[/tex]

Så deler jeg hvert ledd på [tex]x^2[/tex]

[tex]\lim_{x\rightarrow[/tex][symbol:plussminus][symbol:uendelig][tex]\frac{3+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{2}{x}}[/tex]

Hva gjør jeg så videre? Hva skal jeg sette inn for [symbol:uendelig] ?

Det er x som går mot uendelig, ergo du skal sette inn uendelig for x.

Når du har f.eks. [tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \frac1{x}[/tex]

Prøv å del et tall på noe veldig stort, du ser at det tilnærmet lik 0 ?

Da vil [tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \frac1{x}=\frac1{\infty}=0[/tex]

Takk for svar!

Hva med f. eks. dette, vil det også bli 0?

[tex]\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{6x}{x^2}=\frac{6\infty}{\infty^2}[/tex]

Glem det, fant ut at det blir 0

Det er ganske ukonvensjonelt å sette uendelig i en funksjon. Det er jo ikke et tall, bare et konsept.

Ikke bli overrasket om det kommer en lynsjmobb med matematikk-professorer og stormer huset ditt i natt, for sånt liker de absolutt ikke!

Verdt å notere seg disse setningene:

[tex]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \\ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/tex]

Så slipper man å utføre polynomdivisjonen.

Dessuten har vi en regel:

Hvis [tex]P(x)[/tex] er et polynom med høyere grad enn polynomet [tex]G(x)[/tex], så er
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{G(x)}{P(x)}=0[/tex]

Prøv å bevise det. Hint: Uttrykk [tex]P(x)[/tex] og [tex]G(x)[/tex] ved deres ledd med villkårlige koeffisienter.

Mistenker at dette ble alt for lett. Du er vel ute etter noe veldig formellt

[tex]\lim_{x \to \infty} \ \frac{ax + b}{cx^2 + d} = \lim_{x \to \infty} \ \frac{a\frac{x}{x^2} + \frac{b}{x^2}}{c\frac{x^2}{x^2} + \frac{d}{x^2}} = \frac{0}{c} = 0[/tex]

Vel, nå har du antatt at P(x) har grad 2, og G(x) har grad 1. Er ute etter noe mer generelt. (Begynn slik: La polynomet P(x) ha grad n, og polynomet G(x) ha grad s hvor n>s hvor n og s er naturlige tall.) Men det er riktig tenkt ja.

Det er jo klart at man vil stå igjen med 0 i teller siden alle leddene deles på en x-verdi av høyere grad. I teller vil vi stå igjen med koeffisienten foran x med høyest grad. Men aner ikke hvordan man skal føre et slikt bevis.