trigonometriske funksjoner

[Jerv]

noen som kan forklare meg hvorfor sin x/x blir 1 i dette stykket hvor lim x->0 1- cos x/x^2 = 1/2 som da kan gjøres om til lim x-> 0 sinx*sinx/x*x*(1+cosx) =1/2, skjønner ikke åssen 0/0 kan bli 1 =O
altså de viste et eksempel i boka hvor sin x/x ble 1 hvor lim x-> 0

[magneam]

Dersom du ikke har hørt om l'Hopitals regel før, kan dette høres litt 'magisk' ut. Men det er den enkleste måten å vise det på.

Når du har en grenseverdi som enten går mot [tex] \frac{\infty}{\infty}[/tex] eller [tex] \frac{0}{0} [/tex], kan du ved å bruke l'Hopitals regel derivere telleren og nevneren i uttrykket hver for seg. Da får du

[tex] {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x}}{1} = {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x = \underline{\underline 1} [/tex]

Her har du da altså et [tex] \frac{0}{0} [/tex]-uttrykk, siden sin 0 = 0.

[FredrikM]

Har sett det vist uten å bruke den - dog kjekke - regelen. Men hjelper ikke topicstarter noe.

[magneam]

En annen måte å se det på er å observere at når x varierer mellom [tex] - \frac{\pi}{2}[/tex] og [tex] \frac{\pi}{2} [/tex] da er
[tex] \sin{x} \le x \le \tan{x} [/tex]

Deler man med sin x får man
[tex] 1 \le \frac{x}{\sin{x}} \le \frac{1}{\cos{x} [/tex]

Her kan man se at siden
[tex] {\lim }\limits_{x \to 0} 1 = 1 [/tex] og
[tex] {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\cos x}} = 1 [/tex],

får vi at
[tex] 1 \le {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin{x}}} \le 1 [/tex].

Siden grenseverdien er mindre eller lik 1 og større enn eller lik 1. Er eneste løsning at
[tex] {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin{x}}} = 1 [/tex]

Dette gjelder da også i vårt tilfelle da vi kan si at
[tex] 1 \le \frac{x}{\sin{x}} \le \frac{1}{\cos{x} [/tex]

[tex] 1 \ge \frac{\sin{x}}{x} \ge \cos{x} [/tex]

Av samme argument gjelder også
[tex] {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1 [/tex]