matematikk.net

I dag kom jeg borti følgende integral:

[tex]\frac12 \int_0^{2 \pi} |cos 4 \theta | ^2 d \theta[/tex]

Og her er min utregning:

[tex]\frac12 \int_0^{2 \pi} |cos 4 \theta | ^2 d \theta = \frac12 \int_0^{2 \pi} cos^2 4 \theta d \theta[/tex]

Nå bruker jeg at:

[tex]cos 2x = 1 + cos^2 x[/tex]

Som skrives om til:

[tex]cos^2 x = \frac12 + \frac12 cos 2x[/tex]

setter [tex]x = 4 \theta[/tex] og får:

[tex]cos^2 4 \theta = \frac12 + \frac12 cos 8 \theta[/tex]

Og dette uttrykket bytter jeg ut integranden med:

[tex]\frac12 \int_0^{2 \pi} |cos 4 \theta | ^2 d \theta = \frac12 \int_0^{2 \pi} \left(\frac12 + \frac12 cos 8 \theta \right) d \theta = \frac14 \int_0^{2 \pi} \left(1 + cos 8 \theta \right) d \theta = \frac14 [\theta + \frac18 sin 8 \theta ]_0^{2\pi} = \frac 14 \left(2\pi + \frac18 sin 16\pi - (0 + \frac18 sin 0) \right) = \underline{\underline{\frac{\pi}{2}}}[/tex]

Tror vel egentlig ikke det! Du har brukt en velkjent trigonometrisk relasjon + ett lite knep [tex]\,\,(x=4\theta)\,\,[/tex]
Deretter er der bare rett fram.

Integrala av typen;

[tex]\int \frac{1}{\sin(x)}{\rm dx}[/tex]

er nok litt vassere på 3MX-nivå.

Her skal du se knep:

Siden sinus og cosinus bare er forskyvninger av hverandre og vi integrerer over 8 (det vesentlige: et heltall) hele perioder, må vi ha [tex]\int_0^{2\pi}\cos^2(4t) dt = \int_0^{2\pi}\sin^2(4t)dt[/tex]. Vær sikker på at du skjønner hvorfor det er sånn.

Men da må vi jo ha [tex]\int_0^{2\pi}\cos^2(4t)dt = \frac12\int_0^{2\pi}(\cos^2(4t)+\sin^2(4t))dt = \frac12\int_0^{2\pi}1dt=\pi[/tex] ved en ikke ukjent trigonometrisk identitet. Enig?

Raskt og enkelt, og du kan gjøre lignende ting i ganske mange situasjoner for å slippe unna brysomt arbeid.

Joda, jeg skjønner det du gjør! Og takk for den. Det er over 20 år siden jeg tok de første vekttallene (studiepoengene) i matematikk. Og man glemmer en del med åra.

Din metode lå langt der bak i hukommelsen, så takk for påminnelsen...

Dere skjønner jeg jobber på en liten videregående skole, der jeg er "ganske alene". Ingen kolleger å spørre...så derfor takk for:Takk, takk!

Janhaa skrev:
Integrala av typen;

[tex]\int \frac{1}{\sin(x)}{\rm dx}[/tex]

er nok litt vassere på 3MX-nivå.

hehe...

Jeg tenker en substitusjon med [tex]u = ln(sin x)[/tex] eller noe sånt skulle løse saken. Ser forresten at den substitusjonen ikke vil fungere... Det er for lenge siden jeg tok kalkulus...

Hva er knepet?

gang med sin x oppe og nede og sett u=cos x tror jeg skal funke..