vanskelig lignings oppgave

[Student001]

To båter kjører med hver sin konstante fart fram og tilbake over en fjord og snur ved fjordbredden uten å tape tid. De starter på hver sin fjordbredd og møtes for første gang 700 m fra den den ene fjordbredden. Etter at båtene har snudd møtes de for andre gang 300 m fra den andre fjordbredden. Hvor bred er fjorden?

[Gjest]

La fjordbreidda vera x, og la fartane til dei to båtane A og B vera u og v. Ved den første passeringa har A køyrd x - 700 og B 700, og dei har brukt tida (x - 700)/u = 700/v. Ved den andre passeringa har A køyrd 2x - 300 og B x + 300, og dei har brukt tida (2x - 300)/u = (x + 300)/v. Me stiller opp likningane som

v(x - 700) = 700u
v(2x - 300) = (x + 300)u

Dette er to likningar og tre ukjente, men me er berre i interessert i x. Det smarte er difor å dela på v, og setja u/v = y, slik at me står igjen med to ukjente:

x - 700 = 700y
2x - 300 = (x + 300)y

Me skriv no om til

x = 700(y + 1)
x = 300(y + 1)/(2 - y)

Av dette får me 700(y + 1)(2 - y) = 300(y + 1). Sidan y > 0, og då spesielt y + 1 > 0, så får me 700(2 - y) = 300, eller 2 - y = 3/7, eller y = 11/7. Då er x = 700(18/7) = 1800. Fjordbreidda er altså 1800 meter.