periodiske funksjoner - eks i læreboka

[krivol]

Et eks i læreboka. Skal finne koordinatene til topp punkter på grafen til f(x) = 5sin [symbol:pi] x-12cos [symbol:pi] x+4

A= [symbol:rot] (5^2 + (-12)^2) = 13 og tan ø(fant ikke det ordentlige tegnet) = -12/5 (5,-12) ligger i fjerde kvadrant ø=-1,176 ----- det er dette jeg lurer på!

(5,-12) ligger altså i 4. kvadrant, og da trodde jeg at ø måtte ligge i intervallet [3 [symbol:pi] /2, 2 [symbol:pi]]. derfor ville jeg fått ø = -1,176+ [symbol:pi] + [symbol:pi] = 5,76

hvorfor skal man ikke gjøre dette?

tusen takk for hjelp!

[ettam]

Sakset fra et svar jeg ga for noen uker siden:

Det som avgjør fasen [tex]\phi[/tex] i "omskrivningen" mellom [tex]a \sin kx + b \cos kx = \sqrt{a^2+b^2} \sin (kx + \phi)[/tex] der [tex]\phi = \tan^{-1} (\frac{b}{a})[/tex] er følgende:

[tex]a[/tex] positiv og [tex]b[/tex] positiv [tex]\phi[/tex] ligger i 1. kvadrant
[tex]a[/tex] negativ og [tex]b[/tex] positiv [tex]\phi[/tex] ligger i 2. kvadrant
[tex]a[/tex] negativ og [tex]b[/tex] negaitiv [tex]\phi[/tex] ligger i 3. kvadrant
[tex]a[/tex] positiv og [tex]b[/tex] negativ [tex]\phi[/tex] ligger i 4. kvadrant


---- så du har rett....

[krivol]

så det som står i lærebokaer feil..? har gjort flere oppgaver der ø ligger i 4 kvadrant, og jeg har fått riktig svar hvis jeg ikke legger til [symbol:pi] og feil svar hvis jeg legger til [symbol:pi] ... blir forvirra...

[Dinithion]

Fordi
[tex]\frac{-1.176*180}{\pi} = -67.38[/tex]
Som ligger i 4. kvadrant, akkuratt som (5,-12).

[krivol]

skjønte ikke hva du gjorde der dinithion?

skriver inn tre oppgaver her som jeg håper på å få hjelp til.. noen som kan skrive inn svarene de får? må se om fasiten er riktig... (hvis noen skriver fremgangsmåte i tillegg setter jeg veldig pris på det)

Løs likningene: 3sin2x - 4cos2x=-2

finn ved regning topp og bunnpunkter: f(x) = [symbol:rot]3 sin2x - cos2x


tusen takk for hjelp!!

[Dinithion]

Fordi du ikke kan beskrive en funksjon med kombinasjon av sinus og cosinus som en ren sinus/cosinus funksjon, må man foreta en justering. Det er derfor man regner ut [tex]\phi[/tex] i første omgang. Dette er en faseforskyvning målt i radianer. For å gjøre denne om til grader, kan man ganger slik jeg gjorde. (Man trenger strengt tatt ikke gjøre det, men jeg synes det er lettere å se hvilken kvadrant den ligger i om jeg gjør den om til grader).

[krivol]

ok, da skjønte jeg hva du gjorde

men trenger likevel hjelp til de oppgavene fordi jeg får ikke likt svar som fasiten...

[Dinithion]

Jeg begynner med denne:
3sin2x - 4cos2x=-2

Starter med å finne Amplituden:
A=[tex]+sqrt{3^2+4^2}=5[/tex]

Deretter finner vi phi:
[tex]tan \phi = \frac{3}{-4}=-0,75[/tex]

[tex]\phi = -0,644[/tex]

[tex]\frac{-0.644 * 180}{\pi} = -36.9[/tex] grader, altså 4. kvadrant

(-4,3) er i 2. kvadrant og -0,644 er i 4. kvadrant, altså legger vi til en [symbol:pi]

[tex]\phi = -0,644 + \pi = 2.498[/tex]

[tex]\frac{2.498 * 180}{\pi} = 143,1[/tex] grader, altså 2. kvadrant.

Da har vi kommet fram til funksjonen:
2+5cos(2x-2,498)

Da klarer du kanskje resten av den første oppgaven selv?

Edit:
Ok, av gammel vane så har jeg laget det til cosinus. Da kan du prøve selv (Ved å følge regelboken) å gjøre det til en sinus funksjon. Da vil du få en annen phi. Da får du også trening i å gjøre det selv. Men husk å være obs på forskjellen mellom a og b, her er det lett å gjøre feil

Edit 2:
Og husk at det er to løsninger

[krivol]

Jeg har gjort oppgaven, og plusset på to [symbol:pi]'er sånn som læreren min sa at jeg skulle gjøre...
A=5
tan ø= -4/3 ø = -0,93+ [symbol:pi] + [symbol:pi] =5,36
da fikk jeg svarene (som ikke er riktig i følge fasiten)

x=-2,886 + [symbol:pi] k og x=-0,903+ [symbol:pi] k


så derfor prøvde jeg å ikke legge til de to [symbol:pi]'ene
ø=-0,93
og da fikk jeg disse svarene,som faktisk var riktige

x=0,26+ [symbol:pi] k og x= 2,24+ [symbol:pi]k

det er derfor jeg er litt forvirret...

[Dinithion]

Jo, når du lager en sinus funksjon, så stemmer det. Nå laget jeg en cosinus funksjon, og da er det en av forskjellene (Så da kan du begge. Greit å ha begge to i formelheftet, for på eksamen skal man noen ganger lage cosinus og andre ganger sinus )

Edit:
Endret du innlegget ditt?

[krivol]

jeg glemte først at phien var annerledes siden du haddee brukt cos isteden for sin... men så leste jeg det du hadde skrevet nederst på innlegget ditt og da endret jeg innlegget mitt

[Dinithion]

Husk at en sinus funksjon repiteres med ett intervall på 2[symbol:pi], dermed vil du være tilbake til utgangspunktet om du legger til pi to ganger. Du skal bare legge til en pi

Uten å vise utregning til sinus, så er tilsvarende sinusfunksjon (For den jeg laget til cosinus i sted):
2+5sin(2x-2,215)=0

For å regne ut den første løsningen, så blir den:
5sin(2x-2,215)=-2

[tex]sin(2x-2,215)=-\frac{2}{5}[/tex]

[tex]2x-2,215=-0,4[/tex]

[tex]2x=-0,4+2,215 +n2\pi[/tex]

[tex]x=0,9075+n\pi[/tex]

For å finne den andre løsningen blir det likt fram til man tar sin¯¹ på begge sider:
sin(2x-2,215)=-0,4
Når det er gjort, så trekker vi verdiene på venstre side fra pi, for å finne neste verdi av x, altså [symbol:pi]-(-0,4) på venstre side.

[tex]2x - 2,215 =\pi +0,4[/tex]

[tex]2x=\pi+0,4+2,215 +n2\pi[/tex]

[tex]x=2,8783 +n\pi[/tex]

Er du med nå?