Den trippelderiverte av 1/x

[espen180]

[tex]f(x)=\frac{1}{x}[/tex]

[tex]f^\prime (x)=(x^{-1})^\prime[/tex]
[tex]f^\prime (x)=a*bx^{b-1}[/tex]
[tex]f^\prime (x)=-1x^{-2}[/tex]
[tex]f^\prime (x)=-\frac{1}{x^2}[/tex]

[tex]f^{\prime \prime} (x)=(-\frac{1}{x^2})^\prime[/tex]
[tex]f^{\prime \prime} (x)=(-x^{-2})^\prime[/tex]
[tex]f^{\prime \prime} (x)=-2*-1x^{-3}[/tex]
[tex]f^{\prime \prime} (x)=2x^{-3}[/tex]
[tex]f^{\prime \prime} (x)=\frac{2}{x^3}[/tex]

[tex]f^{\prime \prime \prime} (x)=(\frac{2}{x^3})^\prime[/tex]
[tex]f^{\prime \prime \prime} (x)=(2x^{-3})^\prime[/tex]
[tex]f^{\prime \prime \prime} (x)=-6x^{-4}[/tex]
[tex]f^{\prime \prime \prime} (x)=-\frac{6}{x^4}[/tex]

Er denne utregningen riktig utført? Hvis ikke, hva gjør jeg galt?

Mvh Espen

[Vektormannen]

Ser helt riktig ut

Nå er det vel ikke så mye nytte å få ut av den trippelderiverte, men ...

[espen180]

Det er ga gøyere å trippelderivere enn å bare derivere?

[Markonan]

For gangetegn burde du bruke \cdot i TEX.

[espen180]

[tex]a \cdot b[/tex]

Den er grei.

[Vektormannen]

Hvis du vil ha en gøy derivasjonsoppgave kan du f.eks. derivere 1/x (eller trippelderivere, om du har lyst) ut fra definisjonen på den deriverte?

[espen180]

Hvis du vil ha en gøy derivasjonsoppgave kan du f.eks. derivere 1/x (eller trippelderivere, om du har lyst) ut fra definisjonen på den deriverte?

Jeg forstår ikke. Hva vil det si å derivere ut fra definisjonen på den deriverte?

[Janhaa]

Hvis du vil ha en gøy derivasjonsoppgave kan du f.eks. derivere 1/x (eller trippelderivere, om du har lyst) ut fra definisjonen på den deriverte?

Jeg forstår ikke. Hva vil det si å derivere ut fra definisjonen på den deriverte?

titt på linkene under

http://www.matematikk.net/ressurser/per ... php?aid=67

http://no.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analyse

http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus

http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative

[Vektormannen]

Den deriverte til en funksjon [tex]f(x)[/tex] er definert som følgende grenseverdi:

[tex]f^\prime(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \ \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}[/tex]

Prinsippet bak dette står forklart mange steder på nettet, men kort sagt kan det tolkes slik, grafisk sett: Du har et punkt [tex](x, f(x))[/tex] og et punkt litt lenger borte på grafen, [tex](x + \Delta x, f(x + \Delta x))[/tex]. Den rette linja gjennom disse to punktene vil da ha stigningstall [tex]\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}[/tex].

Men så lar vi avstanden mellom de to punktene i x-retning, altså [tex]\Delta x[/tex] bli veldig, veldig liten. Det er dette [tex]\lim_{\Delta x \to 0}[/tex] betyr, at [tex]\Delta x[/tex] går mot 0. Når [tex]\Delta x[/tex] går mot 0 vil punktet [tex](x + \Delta x, f(x + \Delta x))[/tex] nærme seg punktet [tex](x, f(x))[/tex]. Da vil linja gjennom de to punktene samtidig bli mer og mer lik tangentlinja til punktet [tex](x, f(x))[/tex], siden avstanden mellom punktene blir ubetydelig liten. Som du sikkert vet er det stigningen til denne tangentlinja som nettopp er den deriverte til funksjonen.

Edit: der kom Janhaa med noen linker ja

[espen180]

Min funskjon blir altså [tex]f^\prime (x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}[/tex] ?

[Vektormannen]

Ja, det blir uttrykket for den deriverte av 1/x.

[espen180]

Da antar jeg det er lettere å omskrive det til [tex]\frac{(x+\Delta x)^{-1}-\frac{1}{x}}{\Delta x}[/tex]

Så henter jeg [tex]\Delta x[/tex] fra nevneren og opp på telleren:

[tex](x+ \Delta x)^{-1}-\frac{1}{x} \cdot \Delta x^{-1}[/tex]

Trekker sammen:

[tex](x+ \Delta x)^{-1}-\frac{1*\Delta x^{-1}}{x}[/tex]

[tex](x+ \Delta x)^{-1}-\frac{1}{x \Delta x}[/tex]

[tex](x+ \Delta x)^{-1}-(x \Delta x)^{-1}[/tex]

Nå står jeg fast. Har jeg gjort det feil?

[Vektormannen]

Tror ikke det der vil føre fram nei. Prøv heller å sette brøkene i telleren på felles brøkstrek til å begynne med, og se om du kan gjøre noe videre. Hvis dette er nytt for deg kan du jo prøve å derivere noe lettere først, f.eks. [tex]f(x) = 2x[/tex]?

[zell]

[tex]\Delta x = h[/tex]

[tex]\lim_{h\rightarrow 0} \ \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \ \frac{\frac{x}{x(x+h)} - \frac{x+h}{x(x+h)}}{h}[/tex]

Den burde få deg i gang!

[espen180]

Redd jeg tar feil igjen, men jeg gjør et forsøk:

[tex]\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{\Delta x}{x^2+x \Delta x}}{\Delta x}[/tex]
[tex]\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{x^2+x}}{\Delta x}[/tex]

Begynner å ligne løsningen, men er ikke sikker på hva jeg skal gjøre herfra.

Derivert av 2x:

[tex]f^\prime (x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{2(x+\Delta x) -2x}{\Delta x}[/tex]
[tex]f^\prime (x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x+2\Delta x-2x}{\Delta x}[/tex]
[tex]f^\prime (x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\Delta x}{\Delta x}[/tex]

[tex]f^\prime (x)=2[/tex]