Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.
Kan denne løses ved regning, finnes det en algoritme som jeg kan bruke til slike likninger? Denne likningen består av sum av en geometrisk rekke, hvor a(1)=700 og vekstfaktoren/kvotienten som er den ukjente variabel når summen blir lik 10000 i løpet av en tidsenhet på 12
700(x^12-1)/(x-1)=10000
Denne er enkel og løse på kalkulator men er VELDIG INTRESSERT og finne ut om dette kan gjøre på hånd..
Om den kan løses for hånd? Ja, men bare en løsning kan finnes eksakt.
700(x^12-1)/(x-1)=10000
700(x^12-1)=10000(x-1)
Du ser at x=1 er en løsning (0=0). For å finne tilnærmede verdier for evnt. andre løsninger tror jeg du må bruke en tilnærmingsmetode, for eksempel Newtons metode.
700(x^12-1)/(x-1)=10000 gjeld berre dersom x ikkje er 1 (då ville jo nemnaren vera 0!!), og x = 1 er dermed så visst inga løysning på denne. Den opphavlege forma er vel
700(1 + x + x^2 + ... + x^11) = 10000, dvs.
7(1 + x + x^2 + ... + x^11) = 100.
x = 1 gjev inga løysning, og x ikkje 1 gjev 7(x^12 - 1) = 100(x - 1).
Me har ei 11-te-gradslikning, og Niels Henrik Abel har i si tid vist at det ikkje nødvendigvis treng finnast ei eksakt løysning (vha. røtter, +, -, * og /) på ei slik likning. Eg veit ikkje korleis me skal finna ut om det gjeld for overnemnde likning (men å undersøkja det ligg på relativt høgt universitetsnivå).
Det finst heldigvis ei rekkje moglege tilnærmingsmetodar. Newtons metode er jo ein kandidat, men eg vil sjå på ein litt enklare ein: Eg går ut frå at x > 0 (det er jo rimeleg, teke den opphavlege oppgåva i betrakning). Då vil 1 + x + ... + x^11 vera aukande, så det finst nøyaktig éi løysning. Me kan då systematisk sjekka for ulike c om 1 + ... + c^11 > 100/7 eller < 100/7: Førstnemnde gjer at me vidare sjekker ein mindre c, sistnemnde ein større. Eit utgangpunkt kan vera å først sjekka c = 2, deretter c = 1.5, deretter c = 1.25, deretter anten c = 1.125 eller c = 1.375, osb. (Me halverer intervallet løysninga kan liggja i for kvar gong.)
Jeg ønsker og vite mere om denne newtons metode, hvor finner jeg stoff om dette... ? Det er også ønskelig at noe bruker metoden for å løse denne oppgaven slik at jeg lettere setter meg inn i algoritmen.. på forhånd takk..
Newtons metode: Me skal finna ein tilnærmingsverdi til ei rot til likninga
f(x) = 0, f ein deriverbar funksjon, og startar med ei tilnærming x_0 (som helst bør liggja i nærleiken av rota, og i tillegg må f'(x_0) ikkje vera 0). Tangenten til grafen av funksjonen i punktet (x_0, f(x_0)) skjerer x-aksen i eit nytt punkt x_1; x_1 = x_0 - f(x_0)/f'(x_0). Me fortsetter så tilsvarande, og finn x_(n + 1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n). Etter kvart vil x_n verta ei svært god tilnærming til rota (i alle fall vanlegvis). Lag ein figur, så skjønner du nok kva eg sikter til.
I vårt tilfelle er f(x) = (x^12 - 1)/(x - 1), og f'(x) = (12x^11 - x^12 + 1)/(x - 1)^2¨, så g(x) = f(x)/f'(x) = (x^12 - 1)(x - 1)/(12x^11 - x^12 + 1). Me kan starta me ei tilnærming x_0 = 2 (hugs at du ikkje kan bruka x = 1, sidan f ikkje er definert i det punktet). Då vert x_1 = 2 - (2^12 - 1)(12*2^11 - 2^12 + 1) = 2 - 4095/20481, og så kan me finna ei ny tilnærming x_2 ut frå dette, osb. I denne oppgåva er nok ikkkje Newtons metode særleg pen (du unnslepp ikkje kalkulator, aukar ikkje forståinga av problemet og får ikkje stort betre tilnærming enn med enklare metoder, så som den allereie nemnde intervall-halveringa, der du i alle fall har eit visst må på feilen - den er < 1/2^n, der n er kor mange gonger du har halvert intervallet du veit rota ligg innafor).
))