matematikk.net

Hei, prøver å lære meg om ligninger med x som eksponent i en potens. F.eks. [tex]2^x = 9[/tex]. Noen som kanskje kan gi meg en liten forklaring eller si hvor jeg kan lese? Jeg har lest om logaritmer i Per, men fant ikke så mye.
På forhånd takk!

Kjemperegel:

[tex]\log{a^x}=x\log{a}[/tex]

Men jeg skjønner ikke helt hva logaritmer er. Er det kun en funksjon på kalkulator, eller kan man regne den ut og hvordan?
Kunne du vist hvordan man går fram på denne veldig lette oppgaven: [tex]2^x = 8?[/tex]

Logaritmer er bare en skrivemåte, jeg er ganske sikker på at du har sett dem før:

[tex]b^y = x[/tex] kan skrives som: [tex]\log_b (x) = y[/tex]

Vi har videre en mengde logaritmeregeler, se alle her: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_lo ... identities

På din oppgave bruker vi den jeg allerede fortalte deg:

[tex]2^x = 8[/tex]

Vi tar log av begge sider:
[tex]\log{2^x} = \log{8}[/tex]

Som blir (etter regelen):

[tex]x\log{2} = \log{8}[/tex]

Dermed:

[tex]x=\frac{\log{8}}{\log{2}}=3[/tex]

Ja, ok no skjønner jeg, f.eks:

[tex]3^x = 14[/tex]
[tex]log3^x = log14[/tex]
[tex]xlog3 = log 14[/tex]
[tex]x = log14/log3 = 2.4[/tex]
[tex]x= 2.4[/tex]

Tusen takk skal du ha, veldig bra forklart!
Men hvordan finner du logaritmen til et tall uten kalkulator?

I gamledager brukte de logaritmetabeller, med andre ord så regner man det ikke ut

Ok, synd det, håpet kanskje det var en fast regel akkurat som med sin, cos og tan. Bra at jeg har kalkulator då..

[tex]b^y = x \\ \log_b (x) = y [/tex]

Som du ser, dette er bare en skrivemåte! Log av et tall(x) er lik potensen(y) til logaritmebasen(b). Det er definisjonen, du opererer ikke med noe fast forhold, men kun en skrivemåte som binder sammen flere variabler.

Ja, det er jo greit nok.
Men når jeg skriver f.eks. log 6 på kalkulatoren så kommer det fram 0.778.
Jeg lurer på hvorfor, men det er altså veldig komplisert siden de måtte bruke tabeller før i tiden går jeg utifra.

Logaritmer kan ha forskjellige grunntall. De vanligste er 10 og det irrasjonale tallet e = 2.718281828...

Vanligvis brukes log for logaritmen der 10 er grunntallet, og ln der e er grunntallet. Når du skrev log 6 på kalkisen, så bruker den 10 som grunntall og du får svaret 0.778. Det betyr at
[tex]10^{\small 0.778} \approx 6[/tex]

Skriver du ln 6, får du 1.79176, som betyr
[tex]\text{e}^{\small1.79176} \;=\; 2.71828\dots^{\small1.79176} \;=\;6[/tex]

Ok, så logaritmen til et tall X er det du må opphøye 10 i for å få X.
Kult, takk for bra forklaring. ln får vente litt.

Vel det kommer ann på hvilken base du tilegner logaritmen, vanligvis 10, som på kalkulatoren men egentlig kan du gi den hvilken som helst base, derav uttrykket:

[tex]b^y = x \\ \log_b (x) = y [/tex]

b kan jo selvfølgelig være hvilket som helst tall, men hvis det er 10 så skriver vi som oftest kun log. Hvis det er 'e' skriver vi [tex]\ln[/tex]. Hvis basen er '2' skriver vi:

[tex]2^y = x \\ \log_2 (x) = y [/tex]

Hvis den er 'e' kunne vi skrevet:
[tex]e^y = x \\ \log_e (x) = y [/tex]

Men vi skriver:
[tex]e^y = x \\ \ln(x) = y [/tex]

Skjønner du?

Tja, jeg skjønner kanskje at ln er det samme som log,e. Utenom det så er jeg ikke helt sikker. Håper bare at jeg kan forhode meg til at det er 10 som brukes. Hvordan vet du hva som brukes forresten. Hvis jeg lager en oppgave: [tex]7^x = 12[/tex] og sier at basen er 4 så blir svaret: det du må opphøye 4 i for å få 12 delt på det du må opphøye 4 i for å få 7. Men hvis basen hadde vært 10 hadde det blitt ett annet svar eller blir det det samme?

Nei, det blir uansett samme svar, og du kan velge hvilken logaritme du vil.

Med log:
[tex]7^x = 12[/tex]

[tex]x\cdot\log(7) = \log(12)[/tex]

[tex]x = \frac{\log(12)}{\log(7)} \approx 1.277[/tex]

Med ln:
[tex]7^x = 12[/tex]

[tex]x\cdot\ln(7) = \ln(12)[/tex]

[tex]x = \frac{\ln(12)}{\ln(7)} \approx 1.277[/tex]

Selv om log og ln gir forskjellig verdier for samme tall, så er forholdet mellom to forskjellige verdier det samme.
[tex]\frac{\log(12)}{\log(7)} = \frac{\ln(12)}{\ln(7)}[/tex]

Grunnen til at man vil ha forskjellige logaritmer er når det dukker opp ting som f.eks
[tex]log_{\tiny10}(x) = 15[/tex]

For å løse denne opphøyer vi 10 (eller det aktuelle grunntallet) med begge sidene.
[tex]10^{log_{\tiny10}(x)} = 10^{\small 15}[/tex]

[tex]x = 10^{\small 15}[/tex]

Nå gjelder det å ikke bil forvirret!

Du skal finne 'x' i ligningen:

[tex]7^x = 12 [/tex]

Her er det selvfølgelig bare en x-verdi som er riktig, det er jo derfor helt irrelevant hva slags logaritmebase du bruker. Prøv da vel, f.eks. med log eller ln på kalkulatoren din. Dette er også en god mulighet til å virkelig forstå hva du gjør når du tar log av et tall.