matematikk.net

2 spørsmål:

Bestem integralet:

[symbol:integral] (sin x * cos x)

skal det her brukes delvis integrasjon?

Deriver funksjonen:

g(x) = (x+cosx)^3

Tilsvarer det (x^3 + cos^3x) ?

1) På norsk videregående skole er det stort sett 2 teknikker som brukes: Delvis integrasjon og substitusjon. Hvis den ene ikke fungerer, kan du prøve den andre. Med tida vil du opparbeide deg en intuisjon for når du bruker hva. Og husk dx!

2) Nei. På samme måte som [tex](2+5)^3[/tex] ikke er det samme som [tex]2^3+5^3[/tex], men [tex](2+5)(2+5)(2+5)[/tex]. Bruk kjerneregelen!

ok.. takk!

Vil den deriverte av (x+cosx)^3 da bli (1-sinx)^3?

Kjerneregelen, der g og u er funksjoner.
[tex][g(u)]^{\tiny\prime} = g^{\tiny\prime}(u)\cdot u^{\tiny\prime}[/tex]

Hvis du setter u = x + cos(x) og
g(u) = u^3
så kan du derivere med formelen jeg ga over.

hm..

g(x) = (x + cos x)^3

g'(x) = 3(x+cos x)^2 * (-sin x)

slik da?

Ja, det er nesten riktig. Men x'en i parentesen forsvant!

blir ikke den 1, dermed irrelevant?

Er x+1 irrelevant? Hvis du har 2 og legger til 1, er det irrelevant?

Den blir 1, men den er ikke irrelevant. Det du har, med 1 tallet, er ca
A(1-sin(x))
Når du ganger ut dette får du
A - Asin(x)
og da ser du kanskje hvorfor 1 tallet må være med?

Markonan skrev:Den blir 1, men den er ikke irrelevant. Det du har, med 1 tallet, er ca
A(1-sin(x))
Når du ganger ut dette får du
A - Asin(x)
og da ser du kanskje hvorfor 1 tallet må være med?

ahh.. så klart

Hvorfor ikke benytte seg av relasjonen:

[tex]\sin{(2x)} = 2\cos{x}\sin{x}[/tex]

[tex]\int \cos{x}\sin{x}\rm{d}x = \frac{1}{2}\int\sin{(2x)}\rm{d}x[/tex]

Blir ikke [symbol:integral](sinx*cosx)dx slik?

[symbol:integral](sinx*cosx)dx = [symbol:integral]u*du = u + C = sinx + C

u= sin x
du= cos x

Det går fint å regne den sånn også... men strengt tatt så integrerer du jo ikke den substituerte variabelen u!

∫(sinx*cosx)dx = sinx*sinx - [symbol:integral] cosx*sinx dx
[symbol:integral] (sinx*cosx)dx = ((sinx)^2)/2 ? Eller

[tex]\int\sin{x}\cos{x}\rm{d}x = \frac{1}{2}\int \sin{(2x)}\rm{d}x = -\frac{1}{4}\cos{(2x)} + C[/tex]

På din måte:

[tex]u^, = \cos{x} \ , \ u = \sin{x} \ , \ v = \sin{x} \ , \ v^, = \cos{x}[/tex]

[tex]\int\sin{x}\cos{x}\rm{d}x = \sin^2{x} - \int\sin{x}\cos{x}\rm{d}x[/tex]

[tex]\int\sin{x}\cos{x}\rm{d}x = \frac{\sin^2{x}}{2} + C[/tex]

[tex]\sin^2{x} = \frac{1-\cos{2x}}{2}[/tex]

[tex]I = \frac{1-\cos{2x}}{4} + C = -\frac{1}{4}\cos{2x} + C[/tex]

Endel mer tungvindt å gjøre det med delvis integrasjon