Polarkoordinater

[Ingwë]

Hei!

Er det noen som klarer å skrive om [x,y]=[(sin t)^3, (cos t)^3] til polarkoordinater(altså kun uttrykt ved r og θ).... Jeg får det ikke til å stemme

På forhånd takk!

Ingwë

[Janhaa]

Litt merkelig oppgave;

[tex]\tan(\theta)=\frac{y}{x}=\frac{\cos^3(t)}{\sin^3(t)}=\cot^3(t)[/tex]
der
[tex]\cot(t)=\sqrt[3]{\tan(\theta)}[/tex]
slik at
[tex]t=\text arccot(\sqrt[3]{\tan(\theta)})[/tex]

[tex]r=\sqrt{x^2\,+\,y^2}=\sqrt{\sin^6(t)\,+\,\cos^6(t)}=\sqrt{[\sin(\text arccot(\sqrt[3]{\tan(\theta)}))]^6\,+\,[\cos(\text arccot(\sqrt[3]{\tan(\theta)}))]^6}[/tex]

der [tex]\,\,\cot(t)=\frac{1}{\tan(t)}[/tex]

ikke særlig pent uttrykk, kan helt sikkert forenkles.

[Frank KJ]

Hva hvis man benytter seg av at buelengdene uttrykt ved parameteren t og vinkelen θ er like? Altså ved å løse likningen

[tex]\large \int{sqrt{r^2+\(\frac{dr}{d\theta}\)^2}d\theta=\int{|\frac{d}{dt}\vec{r}|}dt[/tex]

enten med hensyn på t eller θ. Jeg kom så langt som

[tex]\(\frac{dr}{d\theta}\)^2+\sin^6{t}+\cos^6{t}+18\sin^2{t}\cos^2{t}=9[/tex]

Men så stoppet det. Dead end? :S

[zell]

[tex]x(t) = \sin^3{t} \\ y(t) = \cos^3{t}[/tex]

[tex]x = r\cos{\theta}[/tex]

[tex]\rm{I}: \ r = \frac{\sin^3{\theta}}{\cos{\theta}} = \sin^2{\theta}\tan{\theta}[/tex]

[tex]\rm{II:} \ r = \frac{\cos^3{\theta}}{\sin{\theta}} = \frac{\cos^2{\theta}}{\tan{\theta}}[/tex]

[tex]\rm{II:} \ \tan{\theta} = \frac{\cos^2{\theta}}{r}[/tex]

[tex]\rm{I:} \ r = \frac{\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}}{r}[/tex]

[tex]r^2 = \sin^2{\theta}\cos^2{\theta}[/tex]

[tex]r = \frac{1}{2}\sin{2\theta}[/tex]

[Cauchy]

Huske på hva som er [tex]t[/tex] og hva som er [tex]\theta[/tex] nå

[Ingwë]

Hei!

Takk for bra respons!!!

Skjønner at der virker som en litt rar oppgave ja...
Oppgaven er å finne arealet av den figuren som funksjonen [x,y]=[(sin t)^3,(cos t)^3] beskriver mellom 0 og 2pi. Jeg tenkte det var lettest å skrive det om til polarkoorinater og regne ut arealet på den måten... men det virker som at det ikke er så lett....

Jeg har sett litt på det i dag, og har kommet frem til en løsning med y som en funksjon av x, og kunne dermed finne arealet på den måten, men det hadde vært gøy å fått det til vha. polarkoordinater også

[zell]

Hva skal svaret bli da? Og hvilke t-verdier opereres det med?

[Ingwë]

Jeg har ikke noen fasit...
Det opereres som sagt i utgangspunktet med t-verdier fra 0 til 2 [symbol:pi] .

Det svaret jeg kom fram til når jeg skrev om til en y som en funksjon av x fikk jeg:
y= (1 - x^(2/3))^(3/2), men her forsvinner selvsagt alle verdiene av y som er mindre enn null, derfor må arealet løses vha. symmetri