matematikk.net

Jeg har problemer med å derivere et produkt. Nedenfor viser jeg i detalj hvordan jeg tenker.

Produktregelen for derivasjon sier at

[tex](u \cdot v)\prime = u\prime \cdot v + u \cdot v\prime[/tex]

Jeg skal derivere produktet
[tex](2x^2 + 4)\sqrt{x}[/tex]

[tex](2x^2+4)\prime \cdot \sqrt x + (2x^2 + 4) \cdot (\sqrt x)\prime[/tex]

[tex]4x \cdot \sqrt x + (2x^2 + 4) \cdot (\frac{1}{2}\cdot x^{\frac12 - 1})[/tex]

[tex]4x\sqrt x + (2x^2+4) \cdot (\frac 12x^{-\frac 12})[/tex]

I ledd 2 antar jeg at jeg kan sette den andre faktoren til

[tex]4x\sqrt x + (2x^2 + 4) \cdot \Large \frac{1}{\frac 21 x^{\frac 12}[/tex]

[tex]4x\sqrt x + (2x^2 +4) \cdot \Large \frac{1}{2\sqrt x}[/tex]

Jeg flytter den første faktoren i ledd 2 over brøkstreken og får

[tex]4x\sqrt x + \Large \frac{1(2x^2 + 4)}{2\sqrt x}[/tex]

I det andre leddet, ser jeg at telleren er summen av to kvadrater. Jeg faktoriserer

[tex]4x\sqrt x + \frac{2(x^2+2)}{2\sqrt x}[/tex]

Jeg har vel ikke lov til å kansellere ut noen faktorer, for da må alle leddene ha den samme faktoren? Hvis jeg ser på definisjonen til produktregelen, så ser det imidlertid ut som om jeg skal behandle hvert av leddene som "et eget uttrykk", og jeg trenger dermed ikke faktoren 2 i det første leddet. Er dette riktig tenkt?

[tex]4x\sqrt x + \frac{\cancel 2(x^2+2)}{\cancel 2\sqrt x}[/tex]

[tex]4x\sqrt x + \frac{x^2+2}{\sqrt x}[/tex]

Her står jeg imidlertid fast, men jeg vet at fasiten sier at svaret blir

[tex]\frac {5x^2 + 2}{\sqrt x}[/tex]

Hvordan i allverden har de kommet frem til det?

Ikke tenk så vanskelig. Finn en fellesnevner

Jeg hører hva du sier, men er usikker på hvordan jeg skal gjøre det i dette tilfellet.

Lurer også på om jeg hadde rett angående å faktorisere ledd nummer 2, selvom det første leddet ikke hadde denne nevneren.

Finn fellesnevner her:

[tex]4x\sqrt x + \frac{x^2+2}{\sqrt x} [/tex]

Enig i at den er [symbol:rot] x? Dermed:

[tex]\frac{4x\sqrt x \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}}+ \frac{x^2+2}{\sqrt x}=\frac{4x\cdot x}{\sqrt{x}} + \frac{x^2+2}{\sqrt x}=\frac{5x^2+2}{\sqrt{x}} [/tex]

Ja, det er jeg enig i, hehe.

Problemet er at jeg ikke forstår hvorfor du får den fellesnevneren ved å gange oppe med fellesnevneren.

Jeg forstår heller ikke hvorfor

[tex]\frac {4x\sqrt x \cdot \sqrt x}{\sqrt x} = \frac{4x \cdot x}{\sqrt x}[/tex]

Finnes det noen regler om disse tingene? Jeg har mistanker til at jeg mangler noen fundamentale kunnskaper her.

Edit:
Ååååh!

Er det fordi:

[tex]\frac {4x\sqrt x \cdot \sqrt x}{\sqrt x} = \frac{4x \cdot x^{\frac 12 + \frac 12}}{\sqrt x} = \frac {4x^2}{\sqrt x}[/tex]

Skjønte det nå, men hadde jeg rett angående kanselleringen av faktorer i forskjellige ledd?

Jeg tror du bør se over litt elementær brøkregning, svært sentralt i matte og i dagliglivet!

Tenk videre litt på hva kvadratrot er, ser du f.eks at:

[tex]\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x[/tex]

Takk

Ja, jeg kommer til å sjekke elementær brøkregning nå. Ser at jeg har sorte hull i kunnskapen der.

Må igjen spørre om jeg hadde rett angående kanselleringen av leddene. Vet jeg har spurt flere ganger nå, men denne posten dør helt sikkert ut etter denne posten.

Er det denne du sikter til:

[tex]4x\sqrt x + \frac{\cancel 2(x^2+2)}{\cancel 2\sqrt x} [/tex]

Isåfall ja, men som vi har sett så fantes det en bedre måte å forenkle uttrykket på..