Oppgåve om polarkoordinatar, finne arealet avgrensa.

[aspic]

Ei kurve K er gitt ved likningen i polarkoordinatane:

r = 4+2cos(4θ), θ ϵ [0,2π]

Eg skal finne arealet mellom denne kurva og ein sirkel. Eg har radiusen til sirkelen, så å finne arealet til sirkelen er rimeleg lett. Det eg slit med er å finne arealet til kurva K.

A = 1/2 * [symbol:integral][ 4+2cos(4θ)][sup]2[/sup] dθ
Dette må bli kvadratsetning, right?
A = 1/2 * [symbol:integral]16 + 16cos(4θ) + 4cos[sup]2[/sup](4θ) dθ

Det er når eg prøver å integrere det bakerste uttrykket at eg får problemer trur eg.. Kan nokon hjelpe? Eg får at arealet til K = 17π, det skal eigentleg verte 18π.

[Dinithion]

skal gi deg ett hint inntil videre:

[tex]cos^2\, kx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos\, 2kx[/tex]

Da skulle det være mulig å integrere

[aspic]

Hmm.. Prøvde, men gjekk ikkje særleg bra.. Fekk faktisk same svaret som eg gjorde tidelegare. Når eg set inn 1/2 + 1/2cos 2x) for cos[sup]2[/sup], er det berre omforminga cos 2x = 2cos[sup]2[/sup]x -1 du har brukt sant? Denne brukte eg tidelegare..

No tar eg berre for meg det bakerste leddet, sidan dei andre er relativt enkle å integrere:

[symbol:integral] 4cos[sup]2[/sup](4θ) dθ

4* [symbol:integral] cos[sup]2[/sup](4θ) dθ

4* [symbol:integral] 1/2 + 1/2* cos2*(4θ) dθ

4* ([symbol:integral] 1/2 + 1/2* cos(8θ) dθ)

4* ([symbol:integral]1/2 dθ + [symbol:integral] 1/2*cos(8θ) dθ)

4* (1/2*x + 1/2*sin(8θ)) Så har me "juksa" litegranne og heile tingen blir slik ifølge meg:

1/2 * (16x + 16sin (4θ) + 2x + 2sin (8θ) + C

= 8x +8sin (4θ) + x + sin (8θ) + C

Fyller ut med verdiar osv, feil

PS: Der eg har heva ut teksten, det er lov sant?

[Dinithion]

Du må nok ta en titt på formelen min en gang til

Cosinus skal ikke opphøyes i andre, men du skal bruke dobbelt vinkel. Utredningen kan du gjøre selv ved å bruke Enhetsformelen og sum- differanseformelen

[aspic]

Opps.. Opphøyninga i 2. der var skrivefeil

[Dinithion]

Det ser ut for at du har glemt at:

[tex]\int cos(kx) = \frac{1}{k}sin(kx) +C[/tex]

ved første øyekast ser det altså ut som du har glemt å ta hensyn til at det er 4teta og ikke bare teta. Prøv forresten å deriver funksjonene for å se om du kommer tilbake til utgangspunktet. Da ser du av og til hvordan du må integrere for at det skal bli riktig.

[aspic]

Ja.. Hadde nok gått i gløymeboka det der. Men det har reint lite å seia for sjølve utrekninga i og med at grensene er mellom 0 og 2pi, og vi har eit sinusuttrykk. Dvs. at alle ledda med sinus vil verte 0 =o

[Dinithion]

Jeg får det til å bli 18[symbol:pi]. Hvordan ser utregningen din ut nå?

[aspic]

Ahh.. Såg det no når eg fylte inn for ørtande gong, eg klarte å fylle inn pi for den enkelte θ'n istadanfor 2pi. Eg takker for all hjelpa Dinithion!, kan du berre så over den siste utregninga før eg skal setje inn grenser, om alt er rett (sidan eg rota så fælt med enkle ting tidelegare)?

A = [8θ + 2sin(4θ) + θ + 1/8 sin (8θ)]

Set inn, får 18pi. Arealet for sirkelen: pi * 2[sup]2[/sup]
A = 18pi - 4pi = 14pi, og heilt likt fasitsvar

Igjen, takk for hjelpa. Er lite som slår følelsen av å klare ei oppgåve og i tillegg ha forstått kva ein gjorde feil

[Dinithion]

Hmm. Jeg kan ikke si at jeg er helt overbevist enda
Når jeg har integrert funksjonen, så sitter jeg igjen med teta og sinus, ingen cosinus.

[aspic]

Gahh.. Enno ein skrivefeil.. Det skal ikkje vere lett å overføre frå ark til forum på ein slik fin dag nei =/ No ser alt rett ut?

[Dinithion]

Da har jeg bare litt småpirk igjen. Du har kommet fram til 2sin(4[symbol:tom]), mens jeg har sin(4[symbol:tom]). Jeg har ikke hele utregningen din, så jeg ser ikke hvor den blir gjort feil.

Edit: My bad. Den skal være 2sin

Pirk nummer [tex]\cancel{to}\, en[/tex]: Når du integrerer ett ledd, ie:

[tex]\int 5\,d\theta = 5\theta +C\,ikke\,5x +C[/tex]

Hvis du ser forskjellen

Men, ja. Det er deilig å jobbe lenge med noe, for så endelig å se at lyset tennes

[aspic]

Jepp, eg ser feilen. Evig takk skal du ha Dinithion.

[Dinithion]

Ingen problem