matematikk.net

Hei, eg treng litt hjelp med ei oppgåve her:

Gitt rekkja: e[sup]10[/sup] + e[sup]9[/sup] + e[sup]8[/sup] + e[sup]7[/sup] +.. der e er Eulers tal.

a) Forklar at dette er ei geometrisk rekkje. Skriv opp formelen for det generelle leddet a[sub]n[/sub] i denne rekkja.

Svar: Dette er ei geometrisk rekkje fordi: potensen til kvart ledd minkar med 1 for kvart ledd. Vi kan difor finne kvotienten ved e[sup]9[/sup]/e[sup]10[/sup] = e[sup]-1[/sup].

Formel for generelle leddet: k = e[sup]-1[/sup], a[sub]n[/sub] = a[sub]1[/sub]*(e[sup]-1[/sup])[sup]n-1[/sup] = e[sup]10[/sup] * e[sup]1-n[/sup] = e[sup]11-n[/sup]

b) Forklar at denne rekkja konvergerer. Finn summen S.

Svar: Rekkja konvergerer når og berre når -1 < k <1, dette er tilfellet her.

S = a[sub]1[/sub]/(1-k) = e[sup]10[/sup]/(1-e[sup]-1[/sup]) = 34845,35

c) Definer ei ny rekkje der det generelle leddet b[sub]n[/sub] er gitt ved b[sub]n[/sub] = ln(a[sub]n[/sub], vis at den nye rekkja er ei arimetisk rekkje.


Det er igrunn c'n eg stussar mest på, men føler meg så usikker på dette med rekkjer at eg like så godt slang opp heile oppgåva med mine svar.

[tex]a_n = e^{11-n}[/tex]

Da vil:

[tex]b_n = ln (a_n) = ln (e^{11-n})[/tex]

[tex]b_{n-1} = ln (a_{n-1}) = ln (e^{11-(n-1)})[/tex]

Bruk regneregler for logaritmer på disse to uttrykken for å forenkle dem, og vis at differansen mellom de to uttykkene er lik en konstant.

Hmm hmm.. Er det noko slikt du tenkjer på?

b[sub]n[/sub] = ln(a[sub]n[/sub]) = ln(e[sup]11-n[/sup]) --> (11 - n)*ln e = 11 - n.

b[sub]n-1[/sub] = ln(e[sup]11-(n-1)[/sup]) = ln(e[sup]10-n[/sup]) = 10 - n.

Er eg heilt på villspor? Eg ser berre ikkje kva eg er ute etter å finne ut med dette =o

Nettopp!

Og hva er en av egenskapene med ei aritmetisk rekke?

At i ei aritmetisk rekkje er det ein fast differanse d mellom eitt ledd og leddet foran. Så d = 1?

Nesten riktig, rekka er:

[tex]10 + 9 + 8 + ...[/tex]

[tex]b_n = 11-n[/tex] og [tex]b_{n-1}=12-n[/tex]

Du regnet feil på [tex]b_{n-1}[/tex], sjekk utregninga di.

Ah.. Eg såg feilen no. Løyser ut parantes, skifter forteikn og viola! 12 - n. Differansen blir med andre ord - 1 ?