matematikk.net

Jeg har pensumboken for 2MX, R1 og oppgavesamling. Likevel finner jeg ikke noe fullgodt svar på dette.

Definisjonen på derivasjon av [tex]a^x[/tex] er [tex](a^x)\prime = a^x \cdot ln a[/tex]

I boken bruker de følgende eksempel:

[tex]g(t) = 500 \cdot 1.17^x[/tex]

[tex]g\prime(t) = 500 \cdot 1.17^x \cdot ln (1.17) = 78.5 \cdot 1.17^x[/tex]

Jeg vet også at jeg kunne gjort [tex]a^x[/tex] til en funksjon av [tex]e^x[/tex], men det er ikke det jeg vil gjøre.

Her er funksjonen jeg sliter med å forstå:

[tex]f(x) = 2^{x^3 - 3x}[/tex]

Jeg ser at denne funksjonen ikke har noe startverdi, slik som g(t), og deriverte den etter definisjonen for den deriverte av [tex]a^x[/tex]

[tex]f\prime(x) = 2^{x^3 - 3x} \cdot ln 2[/tex]

Jeg har med andre ord ikke derivert eksponenten. I fasit er svaret

[tex]f\prime = 2^{x^3 - 3x} \cdot (3x^2 - 3)\cdot ln 2[/tex]

Jeg tenkte dette måtte være feil, fordi det ikke er i tråd med definisjonen, og deriverte derfor f(x) som en funksjon av e. Tegnet så begge grafene i Geogebra, og de var like, så da har fasit rett...

Kan noen forklare meg hvorfor?

Du må ta i bruk kjerneregelen her

Kjerneregel.

[tex]u = x^3-3x \ , \ u^, = 3x^2-3[/tex]

[tex](a^u)^, \ \cdot \ u^, = a^u\ln{u} \ \cdot \ u^,[/tex]

[tex]f^,(x) = 2^{(x^3-3x)}\ln{2}(3x^2-3)[/tex]

Kjerneregel..

EDIT: Sen der ja..

Så gitt denne funksjonen:

[tex]f(x) = 1000 \cdot 2^{x^3 - 3x}[/tex]

Ville riktig svar for den deriverte blitt:

[tex]f(x) = 1000 \cdot 2^u[/tex]

Der [tex]u = x^3 - 3x og u\prime = 3x^2 - 3[/tex]

[tex]f\prime(x) = (1000)\prime 2^u + (1000) \cdot (2^u)\prime = [/tex]

[tex]1000 \cdot ln 2 \cdot (3x^2 - 3) \cdot 2^u = [/tex]

[tex]693(3x^2 - 3) \cdot 2^{x^3 - 3x}[/tex]

Hvorfor anvender du produktregelen?

[tex](c \ \cdot \ f(x))^, = c \ \cdot \ f^,(x)[/tex]

Hvor c er en konstant.

@ Zell
Jeg skrev det bare for å vise at jeg brukte produktregelen.

zell skrev:Kjerneregel.

[tex]u = x^3-3x \ , \ u^, = 3x^2-3[/tex]

[tex](a^u)^, \ \cdot \ u^, = a^u\ln{u} \ \cdot \ u^,[/tex]

[tex]f^,(x) = a^{(x^3-3x)}\ln{(x^3-3x)}(3x^2-3)[/tex]

Hva mener du med å ta den naturlige logaritmen til det den uderiverte eksponenten? Er det ikke grunntallet du skal bruke logaritmen på?

wupz, feil fra min side. Rettet nå.

Tusen takk, da forsto jeg. Gikk opp et lys her. Da tolker jeg det dit hen at jeg kan føre inn

[tex]f\prime(x) = (a^u)\prime \cdot ln a \cdot u\prime[/tex]

Gitt at eksponentialfunksjonen ikke har en konstant.