Finn det ubest. integralet

[matteidiot]

[symbol:integral] x^2+3x+4 / x+1 altså de tre leddene delt på x+1.

Har kommet fra til at det beste er å skrive det slik:
x^2/x+1 + 3x/x+1 + 4/x+1


kan noen hjelpe meg?

[zell]

[tex]\int \frac{x^2+3x+4}{x+1}\rm{d}x[/tex]

[tex]\int \frac{x^2}{x+1}\rm{d}x + \int \frac{3x}{x+1}\rm{d}x + \int \frac{4}{x+1}\rm{d}x[/tex]

[tex]I = I_1 + I_2 + I_3[/tex]

[tex]I_1 = \int \frac{x^2}{x+1}\rm{d}x[/tex]

Polynomdivisjon: [tex]x^2 \ : \ (x+1) = x-1 + \frac{1}{x+1}[/tex]

[tex]I_1 = \int (x-1 + \frac{1}{x+1})\rm{d}x = \frac{1}{2}x^2-x+\ln{|x+1|} + C[/tex]

[tex]I_2 = \int\frac{3x}{x+1}\rm{d}x[/tex]

[tex]u = x+1 \ , \ \rm{d}u = \rm{d}x[/tex]

[tex]I_2 = \int \frac{3u-3}{u}\rm{d}u = 3\int 1 - \frac{1}{u}\rm{d}u = 3(u-\ln{|u|} + C = 3x+3-3\ln{|x+1|} + C = 3x-3\ln{|x+1|} + C[/tex]

[tex]I_3 = 4\int\frac{1}{x+1}\rm{d}x = 4\ln{|x+1|} + C[/tex]

[tex]I = \frac{1}{2}x^2-x+\ln{|x+1|} + 3x-3\ln{|x+1|} + 4\ln{|x+1|} + C[/tex]

[tex]I = \frac{1}{2}x^2+2x + \ln{|\frac{(x+1)^5}{(x+1)^3}|} + C[/tex]

[tex]I = \frac{1}{2}x^2 + 2x + 2\ln{|x+1|} + C = \underline{\underline{\frac{1}{2}(x+2)^2 + 2\ln{|x+1|} + C}}[/tex]

[halten]

(x^2 + 3x + 4)/(x+1) = (x^2 + 3x + 2 + 2)/(x+1) = (x+1)(x+2)/(x+1)+2/(x+1) = x+2+2/(x+1)


int{x+2+2/(x+1)} = 0.5x^2 + 2x + 2ln|x+1|+C

[matteidiot]

Tusen takk!

Polynomdivisjon er en fin ting