Hei!
Jeg lurte på om noen kunne løse denne oppgaven og forklare løsningen før morgendagen i morgen:
[rot][/rot]x[rot][/rot]x[rot][/rot]x[rot][/rot]x...... = [rot][/rot]x+[rot][/rot]x+[rot][/rot]x+[rot][/rot]x+[rot][/rot]x+.....
Tusen takk.
Hilsen
Ath[rot][/rot]
Gruble oppgave
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Algebracus
- Pytagoras
- Innlegg: 19
- Registrert: 18/03-2005 11:52
- Sted: Vestlandet
Dersom likninga er som du har skildra (utan parentesar), så er x = 0 den einaste løysninga, sidan me elles vil ha ei divergerande rekkja på høgresida. Likninga
[rot][/rot](x[rot][/rot](x[rot][/rot]x...)) = [rot][/rot](x + [rot][/rot](x + ...)) er potensielt sett meir interessant. Me går først ut frå at me har konvergerande høgre- og venstresider, f(x) til venstre og g(x) til høgre (me skal løysa f(x) = g(x).
Observer først at f(x) = [rot][/rot](xf(x)) og g(x) = [rot][/rot](x + g(x)). Dette kan hjelpa oss til å finna meir eksplisitte uttrykk. Eg går ut frå at me skal finna reelle løysningar; i så fall er x >= 0 og f(x), g(x) >= 0. Me merkar oss først løysninga x = 0; elles har me
(f(x))^2 = xf(x), dvs. f(x) = x eller f(x) = 0
(g(x))^2 = x + g(x), dvs. g(x) = (1 + [rot][/rot](4x + 1))/2.
La oss gå ut frå at f(x) = x (f(x) = 0 er lite interessant). I så fall skal me løysa likninga 2x = 1 + [rot][/rot](4x + 1), ved kvadrering 4x^2 - 4x + 1 = 4x + 1, dvs. 4x^2 = 8x, eller 4x = 8, eller x = 2.
TILLEGG
Skulle me vera meir restriktive med det formelle, så måtte me undersøkja f(x) og g(x) for å finna ut når dei konvergerer og når dei divergerer, og så arbeidd ut frå det (eller eventuelt vist til nokre teorem). Dette skulle helda:
La f_1(x) = [rot][/rot]x, f_n(x) = [rot][/rot](xf_(n - 1)(x)) og
la g_1(x) = [rot][/rot]x, g_n(x) = [rot][/rot](x + g_1(x). Me veit at desse følgjene konvergerer for x = 0 (opplagt nok er f(0) = g(0) = 0), og er såleis eigentleg berre interessert i tilfellet x = 2.
Observer først ved induksjon at f_n(x) < x for alle x. Me kan vidare observera at f_n > f_(n - 1), dvs. at [rot][/rot](xf_(n - 1) > f_(n - 1), eller x > f_(n - 1). Sidan f er strengt aukande og avgrensa oppover, så er den altså konvergerande. Me har allereie sett at f(x) då må vera x for alle x.
Vidare, observer at g_n(x) < (1 + [rot][/rot](4x + 1) for alle x (ved induksjon), noko som fylgjer ved induksjon. Me har i tillegg g_n > g_(n - 1), eller [rot][/rot](x + g_(n - 1)) > g_(n - 1), som igjen er det same som at g_n(x) < (1 + [rot][/rot](4x + 1) for alle x. g konvergerer altså, mot overnemnde grense.
[rot][/rot](x[rot][/rot](x[rot][/rot]x...)) = [rot][/rot](x + [rot][/rot](x + ...)) er potensielt sett meir interessant. Me går først ut frå at me har konvergerande høgre- og venstresider, f(x) til venstre og g(x) til høgre (me skal løysa f(x) = g(x).
Observer først at f(x) = [rot][/rot](xf(x)) og g(x) = [rot][/rot](x + g(x)). Dette kan hjelpa oss til å finna meir eksplisitte uttrykk. Eg går ut frå at me skal finna reelle løysningar; i så fall er x >= 0 og f(x), g(x) >= 0. Me merkar oss først løysninga x = 0; elles har me
(f(x))^2 = xf(x), dvs. f(x) = x eller f(x) = 0
(g(x))^2 = x + g(x), dvs. g(x) = (1 + [rot][/rot](4x + 1))/2.
La oss gå ut frå at f(x) = x (f(x) = 0 er lite interessant). I så fall skal me løysa likninga 2x = 1 + [rot][/rot](4x + 1), ved kvadrering 4x^2 - 4x + 1 = 4x + 1, dvs. 4x^2 = 8x, eller 4x = 8, eller x = 2.
TILLEGG
Skulle me vera meir restriktive med det formelle, så måtte me undersøkja f(x) og g(x) for å finna ut når dei konvergerer og når dei divergerer, og så arbeidd ut frå det (eller eventuelt vist til nokre teorem). Dette skulle helda:
La f_1(x) = [rot][/rot]x, f_n(x) = [rot][/rot](xf_(n - 1)(x)) og
la g_1(x) = [rot][/rot]x, g_n(x) = [rot][/rot](x + g_1(x). Me veit at desse følgjene konvergerer for x = 0 (opplagt nok er f(0) = g(0) = 0), og er såleis eigentleg berre interessert i tilfellet x = 2.
Observer først ved induksjon at f_n(x) < x for alle x. Me kan vidare observera at f_n > f_(n - 1), dvs. at [rot][/rot](xf_(n - 1) > f_(n - 1), eller x > f_(n - 1). Sidan f er strengt aukande og avgrensa oppover, så er den altså konvergerande. Me har allereie sett at f(x) då må vera x for alle x.
Vidare, observer at g_n(x) < (1 + [rot][/rot](4x + 1) for alle x (ved induksjon), noko som fylgjer ved induksjon. Me har i tillegg g_n > g_(n - 1), eller [rot][/rot](x + g_(n - 1)) > g_(n - 1), som igjen er det same som at g_n(x) < (1 + [rot][/rot](4x + 1) for alle x. g konvergerer altså, mot overnemnde grense.
Hei, takk for svaret. Men jeg skjønte ikke så mye av dette her. Jeg fikk med meg at dersom det ikke stod noen parenteser så kunne tallene være hvilke som helst, og dermed er det naturlig å velge 0 siden alt som ganges med null vil fortsatt forbli null. Hadde vi valgt f.eks. tallet 1, ville det gitt andre svar og være mer komplisert en tallet 0. Men så skjønner jeg ikke mer enn det. Det blir for mye [rot][/rot](xf(x)) og jeg skjønner ikke helt hvor det kommer fra.
Til tross så går jeg bare i GK. Det ville vært fint og du kunne forklart oppgaven litt mer lettere.
Til tross så går jeg bare i GK. Det ville vært fint og du kunne forklart oppgaven litt mer lettere.
-
Gjest
Med litt hjelp fra mattelæreren:
√x√x√x√x...... = √x+√x+√x+√x+√x+.....
Her er n antall faktorer på venstre side og antall ledd på høyre side.
X er en funksjon av n
√x^n = √x * n Dele med n
√x^n / n = √x
(√x^n / n)² =(√x)² Kvadrere (var det vel læreren sa)
x^n / n² = x Bytte nevner med høyre side (vanlige regler for formler fører til det)
x^n / x = n² (Eksponenten n/1 - 1/1 = n-1)
x^(n-1) = n² (Eksponenten n-1 blir n-1 roten på andre siden)
x = n-1√n²
√x√x√x√x...... = √x+√x+√x+√x+√x+.....
Her er n antall faktorer på venstre side og antall ledd på høyre side.
X er en funksjon av n
√x^n = √x * n Dele med n
√x^n / n = √x
(√x^n / n)² =(√x)² Kvadrere (var det vel læreren sa)
x^n / n² = x Bytte nevner med høyre side (vanlige regler for formler fører til det)
x^n / x = n² (Eksponenten n/1 - 1/1 = n-1)
x^(n-1) = n² (Eksponenten n-1 blir n-1 roten på andre siden)
x = n-1√n²