Integral

[maro17]

Jeg sliter med en oppgave. Hjelp søkes:)

[symbol:integral] (x^2*(ln x)^2) dx = ?

Hvordan løser en denne?

På forhånd takk!

[Dinithion]

Ved første øyekast ser det ut til at den kan løses med delvisintegrasjon. Sett u = x² og v=(ln x)²

[maro17]

ok, men kunne du ha vist utregningen?

Den deriverte av (ln x)^2, hva er den?

[Dinithion]

Den fikser du selv. Bruk kjerneregelen. You can do it

[maro17]

Da får jeg til svar:

1/3x^3*(ln x)^2 - 1/6x^4*ln x - 1/24 x^4

Og det er ikke riktig ift fasit...

[Dinithion]

[tex]\int x^2 (ln\, x)^2\, dx\\u^{\tiny\prime} = x^2\,\, u = \frac{1}{3} x^3 \\ v = (ln\,x)^2\,\, v^{\tiny\prime} = 2ln\, x \cdot \frac{1}{x}[/tex]

Sånn, her har vi grunnarbeidet. Så setter vi inn i formelen.

[tex]\frac{1}{3}x^3(ln\, x)^2 - \int \frac{1}{3}x^{\cancel{3} 2} \cdot 2ln\, x \cdot \frac{1}{\cancel{x}}\, dx[/tex]

Trekker sammen så det blir litt mer oversiktlig.

[tex]\frac{1}{3}x^3(ln\, x)^2 - \int \frac{2}{3}x^2 ln\, x\,dx[/tex]

Nå bruker vi delvis integrasjon en gang til. Nå setter vi u' = (2/3)x^2 og v=ln x.

[tex]\frac{1}{3}x^3(ln\, x)^2 - (\frac{2}{9}x^3 ln\, x - \int \frac{2}{9}x^{\cancel{3} 2} \cdot \frac{1}{\cancel{x}}\, dx)[/tex]

Trekker sammen en gang til

[tex]\frac{1}{3}x^3(ln\, x)^2 - (\frac{2}{9}x^3 ln\, x - \int \frac{2}{9}x^2\, dx)[/tex]

Rette opp tungen i munnen, og utfører siste integrasjon:

[tex]\frac{1}{3}x^3(ln\, x)^2 - (\frac{2}{9}x^3 ln\, x - \frac{2}{27}x^3) +C[/tex]

Trekker sammen parentesen og står igjen med:

[tex]\frac{1}{3}x^3(ln\, x)^2 - \frac{2}{9}x^3 ln\, x + \frac{2}{27}x^3 +C[/tex]

Edit:

Det viktigste er å få gjort ordentlig grunnarbeid. Ikke spar på papir. Ta alle mellomregninger for å gjøre det oversiktlig og systematisk. Jeg hadde enda mer mellomregninger enn de jeg skrev ned her. En eller to til. Sett gjerne opp u' og v mellom hver delvis integrasjon du bruker. Og viktigst av alt, trening og mer trening