[tex]\int x^2 (ln\, x)^2\, dx\\u^{\tiny\prime} = x^2\,\, u = \frac{1}{3} x^3 \\ v = (ln\,x)^2\,\, v^{\tiny\prime} = 2ln\, x \cdot \frac{1}{x}[/tex]
Sånn, her har vi grunnarbeidet. Så setter vi inn i formelen.
[tex]\frac{1}{3}x^3(ln\, x)^2 - \int \frac{1}{3}x^{\cancel{3} 2} \cdot 2ln\, x \cdot \frac{1}{\cancel{x}}\, dx[/tex]
Trekker sammen så det blir litt mer oversiktlig.
[tex]\frac{1}{3}x^3(ln\, x)^2 - \int \frac{2}{3}x^2 ln\, x\,dx[/tex]
Nå bruker vi delvis integrasjon en gang til. Nå setter vi u' = (2/3)x^2 og v=ln x.
[tex]\frac{1}{3}x^3(ln\, x)^2 - (\frac{2}{9}x^3 ln\, x - \int \frac{2}{9}x^{\cancel{3} 2} \cdot \frac{1}{\cancel{x}}\, dx)[/tex]
Trekker sammen en gang til
[tex]\frac{1}{3}x^3(ln\, x)^2 - (\frac{2}{9}x^3 ln\, x - \int \frac{2}{9}x^2\, dx)[/tex]
Rette opp tungen i munnen, og utfører siste integrasjon:
[tex]\frac{1}{3}x^3(ln\, x)^2 - (\frac{2}{9}x^3 ln\, x - \frac{2}{27}x^3) +C[/tex]
Trekker sammen parentesen og står igjen med:
[tex]\frac{1}{3}x^3(ln\, x)^2 - \frac{2}{9}x^3 ln\, x + \frac{2}{27}x^3 +C[/tex]
Edit:
Det viktigste er å få gjort ordentlig grunnarbeid. Ikke spar på papir. Ta alle mellomregninger for å gjøre det oversiktlig og systematisk. Jeg hadde enda mer mellomregninger enn de jeg skrev ned her. En eller to til. Sett gjerne opp u' og v mellom hver delvis integrasjon du bruker. Og viktigst av alt, trening og mer trening
