Pascaltrekanten og 18 bokstav i gresk alfabet :)
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
For å finne summen av en uendelig rekke finnes det flere taktikker. Den vanligste (iallefall for meg) er å bryte av ved n'te delsum, se om jeg kan utrykke den summen på lukket form som en funksjon av n, og så gå til grensen.
Og ang om det er summen av alle tall mellom 0 og 1. Svaret er nei, du får jo f.eks, ikke med 1/3, 1/5 osv. Dessuten er antall tall mellom 0 og 1 såkallt ikke-tellbare i antall, så du kan ikke skrive de ved hjelp av en tellbar sum uansett.
Og ang om det er summen av alle tall mellom 0 og 1. Svaret er nei, du får jo f.eks, ikke med 1/3, 1/5 osv. Dessuten er antall tall mellom 0 og 1 såkallt ikke-tellbare i antall, så du kan ikke skrive de ved hjelp av en tellbar sum uansett.
Nei, for å summe en funksjon over de talla må du vel teknisk sett integrere.Tore Tangens skrev:I den første. Blir det summen av alle tall (R) mellom 1 og 0?
Konvergens er som espen sier, at de går mot en bestemt (endelig) verdi.
[tex]\int_0^3 \frac{\left(x^3(3-x)\right)^{1/4}}{5-x}\, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\left(17-40^{3/4}\right)[/tex]
Gode svar hittil, bukker og takker.Cauchy skrev:For å finne summen av en uendelig rekke finnes det flere taktikker. Den vanligste (iallefall for meg) er å bryte av ved n'te delsum, se om jeg kan utrykke den summen på lukket form som en funksjon av n, og så gå til grensen.
Men kan du gi et eksempel, hvordan går denne utledningen?
På den første bruker du selvfølgelig den lukkede formen for en geometrisk rekke, at [tex]S_n=a^0+a^1+a^2+...+a^{n-1}=\frac{a^n-1}{a-1}[/tex], og lar n gå mot uendelig.
Den andre kan dere få bevise.
Tenk deg at det finnes en funksjon f som er slik at
[tex]f(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+ ...[/tex] som fortsetter slik i det uendelige. f(x) kan eventuelt skrives slik:
[tex]\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}[/tex], men konsentrer deg heller om den øverste.
1) Deriver [tex]f(x)[/tex] (ledd for ledd)
2) Hva kan du slutte om [tex]f^\prime(x)[/tex]? Uttrykk den ved [tex]f(x)[/tex].
3) Deriver [tex]g(x)=\ln{f(x)}[/tex] og bruk uttrykket over til å finne hva den deriverte av [tex]g(x)[/tex] er lik.
4) Bruk likningen du får med [tex]g^\prime(x)[/tex] på den ene siden, og integrer med henhold på x på begge sider. Husk den tilfeldige konstanten C.
5) Løs for [tex]f(x)[/tex], du får en generell løsning, men du kan finne den virkelige med å bruke at [tex]f(0)=1[/tex]
6) Finn [tex]f(1)[/tex] på rekkeform ved å bruke definisjonen øverst.
7) Finn [tex]f(1)[/tex] ved å bruke den nye formen du fant i 5).
Den andre kan dere få bevise.
Tenk deg at det finnes en funksjon f som er slik at
[tex]f(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+ ...[/tex] som fortsetter slik i det uendelige. f(x) kan eventuelt skrives slik:
[tex]\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}[/tex], men konsentrer deg heller om den øverste.
1) Deriver [tex]f(x)[/tex] (ledd for ledd)
2) Hva kan du slutte om [tex]f^\prime(x)[/tex]? Uttrykk den ved [tex]f(x)[/tex].
3) Deriver [tex]g(x)=\ln{f(x)}[/tex] og bruk uttrykket over til å finne hva den deriverte av [tex]g(x)[/tex] er lik.
4) Bruk likningen du får med [tex]g^\prime(x)[/tex] på den ene siden, og integrer med henhold på x på begge sider. Husk den tilfeldige konstanten C.
5) Løs for [tex]f(x)[/tex], du får en generell løsning, men du kan finne den virkelige med å bruke at [tex]f(0)=1[/tex]
6) Finn [tex]f(1)[/tex] på rekkeform ved å bruke definisjonen øverst.
7) Finn [tex]f(1)[/tex] ved å bruke den nye formen du fant i 5).