Pascaltrekanten og 18 bokstav i gresk alfabet :)

[Wentworth]

Hvis man tenker på Pascal trekanten som vi kan bruke til å opphøye et binom (en sum av to ledd) i et naturlig tall:

[tex](a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^3[/tex] Her tror jeg den siste altså blir b^4 og ikke b^3. Sant?

Hvordan blir ;

[tex](a+b)^5=[/tex] da?

Noen som kan forklare nøyaktig hvordan man går fram for å opphøye naturlige tall som a og b i koeffisienter som er hentet fra Pascal trekanten.

Jeg kan prøve å lage Pascal trekanten;

------------------1------1-----------------
---------------1------2------1-------------
-----------1------3------3------1---------
-------1------4------6------4-----1-------
---1------5-----10----10------5-----1---
1-----6-----15-----20-----15----6------1

Håper noen kan forklare nå hvordan jeg setter koeffisientene.

[espen180]

[tex](a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5[/tex]

Du ser sikkert hvordan trekanter skal fortsette, som du bruker bare dette som grunnlag for koeffsientene.

---------------------1--------------------- [tex](a+b)^0[/tex]
------------------1------1----------------- [tex](a+b)^1[/tex]
---------------1------2------1------------- [tex](a+b)^2[/tex]
-----------1------3------3------1--------- [tex](a+b)^3[/tex]
-------1------4------6------4-----1------- [tex](a+b)^4[/tex]
---1------5-----10----10------5-----1--- [tex](a+b)^5[/tex]
1-----6-----15-----20-----15----6------1[tex](a+b)^6[/tex]

etc...

Reglen er:

[tex](a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}a^kb^{n-k}[/tex]

[Tore Tangens]

En liten komentar.
Legg merke til symetrien. Fra venstre mot høyre har du a og dens potenser synkende til a forsvinner helt på høyre side:
a[sup]5[/sup]...a[sup]4[/sup]... a[sup]3[/sup]...a[sup]2[/sup]......a[sup]1[/sup]...a[sup]0[/sup]

For b er det motsatt... der begynner man helt uten b for så i andre ledd fra høyre til b...så til b[sup]2[/sup]...osv og stiger helt til ...b[sup]5[/sup]. Samme systemet gjelder over hele systemet. Det er egentlig ganske enkelt å følge oppskriften når du har den inne.

Så den høyeste potensen x man skal begynne med for a og slutte med for b er den potensen som man fikk i det opprinnelige kvadratet (a+b)[sup]x[/sup]. Trakanten er bare en snedig måte å finne koeffesientene.

[Wentworth]

Reglen er:

[tex](a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}a^kb^{n-k}[/tex]

Jeg prøver å forstå denne regelen.

Det sum tegnet som det står over k=0 og under n , hvordan leser man den?

Videre er binomialkoeffisienten lik 1 siden n over k (som er lik 0) gir 1. Ganger dett med a^koeffisienten k som gir null ganger med b^n som er en ukjent og som gir svaret, for minus k er 0, dermed står vi igjen med b^n.

Ettersom jeg skjønner det står vi igjen med kun b^n, kan det stemme, eller hvis noen kan utdype denne formelen så setter jeg selvfølgelig pris på det.

[espen180]

Stor Sigma betyr sum. Du kå sette inn 0 for k g addere det med samme utrykk, men denne gangen setter du inn 1 for k, så 2 for k etc... helt til du kommer til n.

Eksempel:

[tex]\sum_{k=0}^4 k^k=1^1+2^2+3^3+4^4=1+4+27+256=288[/tex]

Mer abstrakt:

[tex]\sum_{k=m}^n 2k=2m+2(m+1)+2(m+2)...+2(n-2)+2(n-1)+2n[/tex]

[Wentworth]

Utrolig gode svar jeg får, lærer faktisk mye av det du har sagt hittil Espen.

Hvis jeg har forstått det riktig så blir ;

[tex](a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6[/tex]

Jeg brukte symmetrien Tore Tangens fortalte om, utmerket!

[espen180]

Utrolig gode svar jeg får, lærer faktisk mye av det du har sagt hittil Espen.

En glede å være til hjelp!

Er det noe du fortsatt lurer på, mens vi nå er her?

[Wentworth]

Det er så godt forklart om dette tema.

Jeg fant også ;

[tex](a+b)^7=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7[/tex]

[Wentworth]

Til Espen: Under eller som signatur har du en stor Sigma med n skrevet under Sigma, hvordan går denne utledningen?

[Wentworth]

Kan noen gi meg en oppgave basert på stor Sigma, så har jeg veldig lyst til å løse den.Og takker for en eventuell oppgave.

[Emilga]

Jeg vet ikke hvilke oppgaver du vil ha, men de burde vel ikke være så vanskelige å lage selv?

[tex]\sum_{n=0}^5 n^2[/tex]

[tex]\sum_{n=0}^4 n(n+2)[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^3 \frac {n+2}n[/tex]

etc.

[Wentworth]

[tex]\sum_{n=0}^5 n^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=svaret?[/tex]

[tex]\sum_{n=0}^4 n(n+2)=1(4+2)+2(3+2)+3(2+2)+4(1+2)=svaret?[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^3 \frac {n+2}n[/tex]

etc.[/quote]

[Emilga]

For å være ærlig kan jeg ingenting om summer, men jeg tror de løses slik:

[tex]\sum_{n=0}^4 n(n+2)=0(0+2)+1(1+2)+2(2+2)+3(3+2) + 4(4+2)[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^3 \frac {n+2}n = \frac {1+2}1 + \frac {2+2}2 + \frac {3+2}3[/tex]

[Wentworth]

Ok, men takk for oppgavene.

Klarer noen andre å se hvordan de løses?

[Wentworth]

Jeg prøver igjen som jeg tror det er;

[tex]\sum_{n=0}^5 n^2=1^2+2^2+3^2+4^2=svaret?[/tex]

[tex]\sum_{n=0}^4 n(n+2)=1(1+2)+2(2+2)+3(3+2)+4(4+2)=svaret?[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^3 \frac {n+2}n=\frac{1+2}{1}+\frac{2+2}{2}+\frac{3+2}{3}=svaret?[/tex]