Sannsynlighetsregning 3MX, jeg løser.

[MatteNoob]

Jeg har også en tråd, der jeg løser sannsynlighetsoppgaver for 2MX.
Sannsynlighetsregning 2MX

I denne tråden kommer jeg til å gjøre oppgaver fra læreboken i 3MX fra Aschoug forlag. ISBN 82-03-32891

I tillegg er det også oppgaver fra oppgavesamlingen for 3MX, også denne fra samme forlag og med følgende ISBN-nummer:

ISBN-10: 82-03-32894-6
ISBN-13: 978-82-03-32894-7

Jeg gjør dette av to grunner:
1. For å lære selv.
2. Slik at andre kan lære av det.

Det er også noen eksamensoppgaver. Disse har jeg ikke fasit på, derfor håper jeg folk kan kommentere disse oppgavene dersom de finner feil.

Jeg kommer til å poste én oppgave per post, slik at jeg ikke mister alt dersom det feks blir strømbrudd under en løsningssesjon.

Tykk blå tekst: Angir start av løsning på deloppgaver.
Tykk rød tekst: Jeg står fast, og ønsker forklaring.
Tykk grønn tekst: Forklaringer der jeg anser det for nødvendig.
Tykk lilla tekst: Eksamensoppgaver fra 3MX

Kommentarer, spørsmål, bidrag og alternative løsningsmetoder er selvsagt hjertlig velkommen! :]

[MatteNoob]

La X være antall øyne ved kast av en terning og sett Y=2X

a) Finn sannsynlighetfordelingen til Y.
b) Bestem E(Y)
c) Finn Var(Y) og SD(Y).

[tex]E(X) = \frac 72 \\ SD(X) = \sqrt{\frac{35}{12}[/tex]

d) Sammenlikn variansene og standardavvikene til X og Y.

a)
[tex]k:\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 2,\, 4,\, 6,\, 8,\, 10,\, 12[/tex]
[tex]P(Y = k):\,\,\, \frac 16 \text{ for alle verdier av k}[/tex]

b)
[tex]E(Y) = 2\cdot E(X) \Rightarrow 2 \cdot \frac 72 = \frac{14}{2} = \underline{\underline{7}}[/tex]

c)
[tex]Var(Y) = b^2 Var(X) \,\, \text{ Der b=2, fordi Y=2X}\\ \, \\ Var(Y) = 2^2 \cdot \frac{35}{12} = 4\cdot \frac{35}{12} = \frac{140}{12} = \underline{\underline{\frac{35}{3}[/tex]

[tex]SD(Y) = \sqrt{Var(Y)} \Rightarrow \underline{\underline{\sqrt{\frac{35}{3}}}}[/tex]

d)
[tex]\frac{Var(Y)}{Var(X)} = \frac{\frac{35}{3}}{\frac{35}{12}} = \underline{4} \Rightarrow \underline{\underline{4\cdot Var(X) = Var(Y)}}[/tex]

[tex]\frac{SD(Y)}{SD(X)} = \frac{\sqrt{\frac{35}{3}}}{\sqrt{\frac{35}{12}}} = \underline{2} \Rightarrow \underline{\underline{2 \cdot SD(X) = SD(Y)}}[/tex]

[MatteNoob]

Du kaster fem terninger. Hva er variansen og standardavviket til:
a) Sum antall øyne.
b) Antall seksere.

a)
Vi tenker oss én terning, og setter X = "Antall øyne på terningen".
Vi har fem terninger, og setter Y = "Antall øyne på fem terninger".

[tex]E(X) = \sum_{k=1}^6 k \cdot \frac 16 = \underline{\frac 72}[/tex]

[tex]Var(Y) = 5\cdot\left( \sum_{k=1}^6 \left(k - E(X)\right)^2 \cdot \frac 16\right) \,\, \Leftrightarrow\,\, 5\cdot \left( \sum_{k=1}^6 \left(k - \frac 72\right)^2 \cdot \frac 16\right) = 5 \cdot \frac{35}{12} = \frac{175}{12} \approx \underline{14.563}[/tex]

[tex]SD(Y) = \sqrt{Var(Y)} \Rightarrow \sqrt{\frac{175}{12}} \approx \underline{3.819}[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Var(Y)\approx14.563 og SD(Y)\approx3.819}}}[/tex]

b)
Dette er et binomisk forsøk, fordi enten får vi en 6er, eller så får vi det ikke.
Vi setter Z = "Antall seksere på fem terninger".

[tex]Var(Z) = n\cdot p(1-p) \Rightarrow 5 \cdot \frac16 (1- \frac 16) = 5\cdot \frac 16 \cdot \frac 56 = \frac{25}{36} = \underline{{0.69\overline 4}}[/tex]

[tex]SD(Z) = \sqrt{Var(Z)} \Rightarrow \sqrt{\frac{25}{36}} = \underline{0.8\overline3}[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Var(Z)=0.69\overline4 og SD(Z)=0.8\overline3}}}[/tex]

Når vi skriver [tex]0.\overline 6[/tex] , betyr det [tex]0.666666[/tex] i det uendelige.

[MatteNoob]

La X være en stokastisk variabel som har tetthetsfunksjonen[tex] f(x) = e^{-x}[/tex] for [tex]x\, > \, 0[/tex] (I dette tilfellet sier vi at X er eksponentielt fordelt.)

Finn sannsynligheten for at X vil få en verdi i intervallene:
a) [tex]\langle 0, 0.1][/tex]
b) [tex]\langle 0.1, 0.2][/tex]

HUSK AT:
[tex]P(a<X<b) \, \Leftrightarrow\, P(a \leq X \leq b)[/tex]

a)

[tex]\int_{0}^{0.1} \left(e^{-x}\right)\text{dx} = \left[-e^{-x}\right]_{0}^{0.1} = F(0.1) - F(0) = \left(-e^{-0.1}\right) - \left(-e^0\right) \approx \underline{\underline{0.095}}[/tex]

b)

[tex]\int_{0.1}^{0.2} \left(e^{-x}\right)\text{dx} = \left[-e^{-x}\right]_{0.1}^{0.2} = F(0.2) - F(0.1) = \left(-e^{-0.2}\right) - \left(-e^{-0.1}\right) \approx \underline{\underline{0.086}}[/tex]

[MatteNoob]

La X være uniformt fordelt. Vis at [tex]Var(X)=\frac{1}{12}[/tex]

X er uniformt fordelt med tetthetsfunksjonen [tex]f(x) = 1[/tex]

[tex]\mu = \int\left( x \cdot f(x) \right)\text{dx} \Rightarrow \int_{0}^1 \left(x \cdot 1\right)\text{dx} = [\frac 12 x^2]_0^1 = \underline{\frac 12}[/tex]

[tex]Var(X) = \int\left( (x-\mu)^2 \cdot f(x)\right)\text{dx} \Rightarrow \int \left( (x-\frac 12)^2 \cdot 1\right)\text{dx} = \int\left(x^2 - x + \frac 14\right)dx = \frac 13 x^3 - \frac 12 x^2 + \frac 14x +C[/tex]

[tex]\left[\frac 13x^3 - \frac 12 x^2 + \frac 14x\right]_0^1 = F(1) - F(0) = \left(\frac 13 - \frac 12 + \frac 14\right) - 0 = \frac{4-6+3}{12} =\underline{\underline{\frac{1}{12}[/tex]

[Dinithion]

Når vi skriver [tex]0.\overline 6[/tex] , betyr det [tex]0.666666[/tex] i det uendelige.

Den var ny for meg. Er det en vanlig notasjon eller er det noe du gjør av praktiske årsaker her? Vil det bli riktig å f.eks skrive:

[tex]0.6\overline {6}7[/tex]
I oppgaver hvor svaret er 0.66666666667?

[Thor-André]

Når vi skriver [tex]0.\overline 6[/tex] , betyr det [tex]0.666666[/tex] i det uendelige.

Den var ny for meg. Er det en vanlig notasjon eller er det noe du gjør av praktiske årsaker her? Vil det bli riktig å f.eks skrive:

[tex]0.6\overline {6}7[/tex]
I oppgaver hvor svaret er 0.66666666667?

Jeg tror det vil bli feil Dinithion, siden hvis kalkulatoren viser svaret 0.66666666667, har den rundet opp det siste 6-tallet til 7...
Ergo, svaret er egentig 0,66666666666 i det uendelige, og det utrykker vi da med [tex]0.\overline 6[/tex]

[Dinithion]

Doh! Selvfølgelig

[MatteNoob]

Når vi skriver [tex]0.\overline 6[/tex] , betyr det [tex]0.666666[/tex] i det uendelige.

Den var ny for meg. Er det en vanlig notasjon eller er det noe du gjør av praktiske årsaker her?

Dette er faktisk en notasjon de bruker, og ikke et av mine kreative innspill. Dersom du er interessert, kan du lese mer her: http://en.wikipedia.org/wiki/Recurring_decimal#Notation

[MatteNoob]

La X være en stokastisk variabel med tetthetsfunksjon på formen:
[tex]f(x) = k \cdot (1-x^2)[/tex] for [tex]-1 \leq x \leq 1[/tex]

a) Bestem konstanten, k
b) Finn sannsynligheten for at X vil få en verdi i intervallet:
b.1) [tex][-1, 0][/tex]
b.2) [tex]\langle 0, 0.5\rangle[/tex]
b.3) [tex][0.5, 1][/tex]
c) Finn E(X)
d) Finn Var(X)

a)
[tex]f(x) = k(1-x^2)[/tex]

[tex]k \cdot \int_{-1}^1\left(1-x^2\right)dx = 1 \\ \, \\ \left[kx - \frac 13 kx^3\right]_{-1}^1 = 1 \\ \, \\ (k-\frac 13\cdot 1^3k) - \left(-k-\frac 13 (-1)^3k\right) = 1 \\ \, \\ \frac 23k - (-k+\frac 13k) =1 \\ \, \\ \frac 23k + k - \frac 13k = 1 \\ \, \\ \frac 43k = 1 \\ \, \\ k = \frac{1}{\frac{4}{3}} \\ \, \\ \underline{\underline{k = \frac 34}}[/tex]

b)
[tex]P(-1 \leq X \leq 0) = \int_{-1}^0 \left(\frac 34(1-x^2\right)dx = \left[\frac 34x - \frac 14 x^3\right]_{-1}^0 = F(0) - F(-1) = \underline{\underline{\frac 12}}[/tex]

Jeg hopper over de siste to, da fremgangsmåten for dem, er lik den jeg har gjort ovenfor.

c)
[tex]\mu = E(X) = \int_{-1}^1 \left(x\cdot \frac 34(1-x^2)\right)dx = \underline{\underline{0}}[/tex]

d)
[tex]Var(X) = \int_{-1}^1 \left((x-\mu)^2 \cdot f(x)\right)dx = \underline{\underline{\frac 15}}[/tex]

[MatteNoob]

Tenk deg at du kaster en terning 600 ganger, hva er sannsynligheten for at du får:

a) Høyst 85 seksere.
b) Minst 115 seksere.

a)
Vi bruker normalfordeling og finner [tex]\mu[/tex] og [tex]\sigma[/tex] for dette binomiske forsøket.

[tex]\mu = n\cdot p \Rightarrow 600 \cdot \frac 16 = \underline{100} \\ \, \\ \sigma = \sqrt{n\cdot p(1-p)} \Rightarrow \sqrt{600 \cdot \frac 16(1-\frac 16)} = \underline{\sqrt{\frac{250}{3}}[/tex]

[tex]P(X \leq 85) = \Phi\left(\frac{85-\mu}{\sigma}\right) = \Phi(-1.64316) \Longrightarrow^{\text{forkorter til\\to desimaler\\ }} \left(1-\Phi(1.64)\right) \\ \, \\ \Updownarrow \,\,\,\,\, \text{Leser av tabell} \\ \, \\ P(X \leq 85) =\left(1-0.9495\right) = \underline{\underline{0.0505\, \Leftrightarrow\, 5.05\percent}}[/tex]

b)
[tex]P(X \geq 115 ) = 1-\Phi\left(\frac{115 - \mu}{\sigma}\right) = 1- \Phi(1.64) \,\,\,\, \Longleftrightarrow^{\text{Leser av\\fra tabell\\ }} \,\,\,\, 1- 0.9495 = \underline{\underline{0.0505 \Leftrightarrow 5.05\percent}}[/tex]

Notasjonen jeg bruker, er ikke lik den i læreverket for 3MX. Dersom du er interessert i denne notasjonen, er den godt presentert i denne artikkelen om normalfordeling på Wikipedia

[MatteNoob]

Tenk deg at du kaster en mynt 1200 ganger. La X være antall krone du får. Finn:

a) [tex]P(X \leq 580)[/tex]
b) [tex]P(X \geq 620) [/tex]
c) [tex]P(590 \leq X \leq 610)[/tex]

a)
Igjen har vi en binomisk forsøksrekke, for å normalfordele denne, vil vi først finne [tex]\mu[/tex] og [tex]\sigma[/tex].

[tex]\mu = np \Rightarrow 1200 \cdot \frac 12 = \underline{600} \\ \, \\ \, \\ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \Rightarrow \sqrt{1200\cdot \frac 14} = \underline{\sqrt{300}}[/tex]

[tex]P(X\leq 580) = \Phi\left(\frac{580 - \mu}{\sigma}\right) = \Phi(-1.15) \Leftrightarrow 1-\Phi(1.15) \\ \, \\ \Updownarrow \,\,\, \text{Leser av tabell} \\ \, \\ P(X\leq 580) = 1-0.8749 \approx \underline{\underline{12.5\percent}}[/tex]

b)
[tex]P(X\leq 620) = 1-P(X\geq 620) = 1-\Phi\left(\frac{620-\mu}{\sigma}\right) = 1 - \Phi(1.15) \\ \, \\ \Updownarrow \,\,\, \text{Leser av tabell} \\ \, \\ P(X\leq 620) = 1-0.8749 \approx \underline{\underline{12.5\percent}}[/tex]

c)
[tex]P(590 \leq X \leq 610) = \Phi\left(\frac{610-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{590 - \mu}{\sigma}\right) = \Phi(0.58) - \Phi(-0.58) \\ \, \\ \Updownarrow\,\,\, \text{Leser av tabell for n-te gang, hehe} \\ \, \\ P(590 \leq X \leq 610) = 0.7190- \left(1-0.7190\right) = \underline{\underline{43.8\percent}} [/tex]

[MatteNoob]

Ved stortingsvalget i 2001 stemte 24.3% av velgerne på Arbeiderpartiet. Tenk deg at du var med på å gjennomføre en valgdagsmåling det året, der et tilfeldig utvalg på 5000 velgere ble spurt om hvilket parti de nettopp hadde stemt på. Hva er sannsynligheten for at:

a) Høyst 1200 av dem hadde stemt AP.
b) Minst 1250 av dem hadde stemt AP.

a)
Igjen et binomisk forsøk, for enten så stemte de på AP, eller så stemte de på et annet parti. Vi trekker et utvalg på 5000 fra populasjonen, der populasjonen er de som har valgt. Vi vet allerede p, nemlig 24.3%

[tex]\mu = n\cdot p \Rightarrow 5000 \cdot 0.243 = \underline{1215} \\ \, \\ \sigma = sqrt{n\cdot p(1-p)} \Rightarrow \sqrt{5000 \cdot 0.243(1-0.243)} = \underline{\sqrt{919.755}}[/tex]

[tex]P(X \leq 1200) = \Phi\left(\frac{1200-\mu}{\sigma}\right) = \Phi(-0.49) = 1- \Phi(0.49) \\ \, \\ \Updownarrow \text{ Leser av tabell} \\ \, \\ P(X \leq 1200) = 1-0.6879 \approx \underline{\underline{31.2\percent}} [/tex]

b)
[tex]P(X\geq 1250) = 1-P(X\leq 1250) = 1-\Phi\left(\frac{1250-\mu}{\sigma}\right) = 1-\Phi(1.15) \\ \, \\ \Updownarrow \text{ Leser av tabell} \\ \, \\ P(X\geq 1250) = 1-0.8749\approx \underline{\underline{12.5\percent}}[/tex]

Svarene mine avviker litt fra fasit, men det er nok fordi de ikke bruker eksakt verdi på standardavviket [tex]\sigma[/tex].

[MatteNoob]

Ved en meningsmåling er det 800 av de spurte som ville ha stemt hvis det hadde vært stortingsvalg i morgen. Av dem er det 124 som ville ha stemt SV. Finn et estimat for oppslutningen til SV og bestem standardfeilen til estimatet.

[tex]\hat p = \frac Xn \Rightarrow \frac{124}{800} = \underline{0.155} \\ \, \\ S_{\hat p} = \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \Rightarrow \sqrt{\frac{0.155 \cdot (1-0.155)}{800}} \approx \underline{0.013}[/tex]

[tex]\underline{\underline{\hat p\text{ er omlag 15.5\percent og S_{\hat p} er omkring 1.3\percent}}}[/tex]

[MatteNoob]

Se på oppgave 5.39. Bestem et 95% konfedensiellintervall for oppslutningen til SV.

Konfedensintervallet beskriver hvordan utvalget vårt fra populasjonen beskriver "den virkelige verden". En kan se på konfedensintervallet som relativ frekvens (sannsynlighet) for at statistikken vår "snakker" sant. Med et konfedensintervall på 95%, kan vi altså si at dersom vi gjentok forsøket 100 ganger, ville 5 av forsøkene være misvisende.

Et tilnærmet 95% konfedensintervall for populasjonsandelen p er:

[tex]\langle \hat p - 1.96\cdot S_{\hat p},\, \hat p+1.96 \cdot S_{\hat p} \rangle \\ \, \\ \Downarrow \\ \, \\ \langle 0.155 - 1.96 \cdot 0.013,\, 0.155 + 1.96\cdot 0.013\rangle \Leftrightarrow \underline{\underline{\langle 0.13,\, 0.18\rangle}}[/tex]