Side 1 av 1
3MX vektorer - plan gjennom punkt
Lagt inn: 25/07-2008 16:45
av kimla
Jeg har problemer med følgende oppgave:
Undersøk om planet [tex]2x - y + 3z + 4 = 0[/tex] går gjennom punktet [tex](1, 3, -1)[/tex]
Kan noen gi meg noen hint? Det er for varmt til å klare å tenke ordentlig!
![Confused :?](./images/smilies/icon_confused.gif)
Lagt inn: 25/07-2008 16:50
av FredrikM
Hint:
Koordinatene til punktet er (x,y,z)=(1,3,-1)
Hva skjer om du bytter ut bokstavene i [tex]2x-y+3z+4=0[/tex] med de tilhørende bokstavene til punktet?
Lagt inn: 25/07-2008 16:52
av Emilga
Hvis planet [tex]2x - y + 3z + 4 = 0[/tex] går igjennom punktet [tex](1,\,3,\,-1)[/tex] skal:
[tex]2\cdot 1 - 3 + 3 \cdot (-1) + 4 = 0[/tex]
[tex]2-3-3+4 = 0[/tex] så punktet ligger i planet.
Dette var en veldig enkel oppgave, jeg forslår at du ser på utledningen av likningen til plan, da ser du sammenheng mellom skalarprodukt og likningen for et plan. : )
Lagt inn: 25/07-2008 17:03
av kimla
Så enkelt kan det være.
Hvis likningen blir 0 så går planet gjennom punktet, hvis ikke så går det ikke gjennom punktet.
I dette tilfellet går planet gjennom punktet.
Løser den så andre som lurer kan søke på forumet.
[tex]2x - y + 3z + 4 = 0[/tex]
[tex]P = (1,3,-1)[/tex]
Putt inn x, y og z-verdiene der de hører hjemme i likningen.
[tex]2*1 - 1*3 + 3 * (-1) + 4 = 0[/tex]
[tex]2 - 3 -3 + 4 = 0[/tex]
[tex]0 = 0[/tex]
Siden det er 0 på hver side så går planet gjennom punktet.
EDIT:
Emomilol svarte før meg.
Takker for hjelpen FredrikM.
Lagt inn: 25/07-2008 17:15
av Emilga
kimla skrev:Hvis likningen blir 0 så går planet gjennom punktet, hvis ikke så går det ikke gjennom punktet.
Hvis vi lar et plan ha normalvektoren [tex]\vec n = [a,\,b,\,c][/tex] og gå igjennom punktet [tex]A = (x_1,\,y_1,\,z_1)[/tex]. La [tex]B = (x,\,y,\,z)[/tex] være et tilfeldig punkt i planet.
Da vil [tex]\vec{AB}\, \per\, \vec{n}[/tex] og da [tex]\vec{AB} \cdot \vec{n} = 0[/tex]. Dette gjelder for alle punkter B som ligger i planet.
[tex]\vec{AB} = [x-x_1,\,y-y_1,\,z-z_1][/tex]
Da kan vi utlede en likning for et plan [tex]\Pi:\,a(x-x_1) + b(y-y_1)+c(z-z_1) = 0[/tex]
[tex]\Pi:\, ax + by + cz + d = 0[/tex], der [tex]d = -ax_1-by_1-cz_1[/tex]