matematikk.net

Holder fremdeles på med integrasjonskapittelet.

Oppgaven lyder som følger: Regn ut
[tex]\int2x \ln(0.5x) \rm{d}x[/tex]

Har prøvd delvis integrasjon som følgende:
[tex]u=x^2[/tex]
[tex]u\prime = 2x[/tex]
[tex]v = \ln(0.5x)[/tex]
[tex]v\prime = \frac{2}{x}[/tex]

[tex]\int2x \ln(0.5x) \rm{d}x = x^2\cdot\ln(0.5x) - \int x^2\cdot\frac{2}{x} = x^2\cdot\ln(0.5x) - \int\frac{2x^2}{x}\rm{d}x = x^2\cdot\ln(0.5x) - \int2x\rm{d}x = x^2\cdot\ln(0.5x) - x^2 = x^2(\ln(0.5x) - 1)[/tex]

Har prøvd flere variasjoner, delvis integrasjon 2 og 3 ganger, har prøvd, uten hell, å derivere fasitsvaret til å bli til det samme integralet som denne oppgaven, har også prøvd å derivere svaret mitt til det originale integralet, noe som heller ikke har gått. Så nå er jeg litt forvirret her.

Fasitsvaret er forøvrig [tex]x^2(\ln(0.5x) - \frac{1}{2})[/tex]

Er fasitsvaret galt, eller er det jeg som har gjort noe galt igjen?

Er usikker på hvordan delvis integrasjon skal brukes. Siden den er det "motsatte" av produktregelen til derivasjon vil jo dette si at jeg ikke skjønner produktregelen heller. Mine regler til nå når det gjelder delvis integrasjon er at det brukes når noe ganges, og når faktorene i gangestykket er av ulik type.

F. eks. er [tex]\ln(x) \cdot x[/tex] ulike hverandre, men [tex]x \cdot 5x^2[/tex] er av lik type, så det er bare å gange sammen og integrere det ferdige produktet (altså [tex]5x^3[/tex]).

[tex]\ln(2x) \cdot \ln(2x)[/tex] er av like typer og svaret blir [tex]\ln^2(2x)[/tex], men [tex]\ln(2x) \cdot \ln(x)[/tex] er ulike og kan ikke trekkes sammen. Her må det bruke delvis integrasjon...

Er dette riktig tankegang?

Første som slår meg er at du har derivert feil

[tex](\ln(0.5x))^\prime=\frac{1}{u}\cdot u^\prime ,\,\ u=0.5x[/tex]

[tex](\ln(0.5x))^\prime=\frac1{0.5x}\cdot 0.5=\frac1{x}[/tex]

Ofte fort gjort å glemme kjerneregelen når man deriverer funksjoner som ln, e, sinus, cosinus osv
Da skulle integrasjonen din stemme overens med fasitsvaret også!

F. eks. er [tex]\ln(x) \cdot x[/tex] ulike hverandre, men [tex]x \cdot 5x^2[/tex] er av lik type, så det er bare å gange sammen og integrere det ferdige produktet (altså 5x^3).

[tex]\ln(2x) \cdot \ln(2x)[/tex] er av like typer og svaret blir [tex]\ln^2(2x)[/tex], men [tex]\ln(2x) \cdot \ln(x)[/tex] er ulike og kan ikke trekkes sammen. Her må det bruke delvis integrasjon...

Er dette riktig tankegang?

Helt riktig!

Når det gjelder bruk av delvis integrasjon.
Jeg bruker alltid å se om oppgaven kan løses med substitusjon først ettersom det krever mindre arbeid, hvis ikke er det ofte delvis integrasjon som må benyttes (på vgs-nivå)
Før du begynner, prøv å integrer den ene faktoren, deriver den andre, se om du får et uttrykk som kan integreres for hånd. Hvis ikke, se evt om de to nye produktene kan deriveres/integreres til et nytt produkt som KAN integreres for hånd.. (Dette er i og for seg hoderegning)
Skulle dette slå feil, så kan du prøve å gjøre det motsatte.

Sikkert ikke en helt god forklaring.

Er du ekstra interessert kan du alltids google opp delvis integrasjon og se hvordan produktregelen for derivasjon og delvis integrasjon henger sammen =)

Husk at ln(0.5x)=ln(0.5)+ln(x).
Dermed ser du at den deriverte må være 1/x, ikke 2/x!

Kjerneregelen for derivasjon gir det samme:
[tex]f(x)=ln(0.5x), u(x)=0.5x, h(u)=ln(u),\to{f}(x)=h(u(x))[/tex]
[tex]\frac{df}{dx}=\frac{dh}{du}\frac{du}{dx}=\frac{1}{u}*\frac{1}{2}=\frac{1}{\frac{x}{2}}*\frac{1}{2}=\frac{1*1}{\frac{x}{2}*2}=\frac{1}{x}[/tex]

Takker for hjelpen, fikk det til. Roter veldig mye nå.

Fikk det til ved hjelp av produktregelen som Olorin forklarte så fint.

arildno; ser at du foreslår ln(u * v) = ln(u) + ln(v), og dette burde jo fungere. Men fikk det ikke til å gå opp.

Stykket blir da:
[tex]\int 2x \cdot (ln (0.5) + ln (x)) = \int 2x \cdot \ln (0.5) + 2x \cdot \ln (x)[/tex]

Jeg bruker delvis integrasjon på begge leddene, noe jeg mistenker er feil iom. at ln(0.5) er et tall og ikke noe ukjent, men når det ganges med 2x blir det fremdeles ikke bare en konstant vi kan sette utenfor integralet, så å integrere 2x * ln(0.5) vet jeg ikke hvordan man gjør.

Sluttsvaret mitt når jeg delvis integrerte begge leddene ble:
[tex]x^2(\ln (0.5) + \ln (x) - \frac{1}{2})[/tex]

Haha, og når jeg ser på det nå så skjønner jeg det jo selvfølgelig. Trekker jo bare sammen ln(0.5) + ln(x) igjen så det blir ln(0.5*x). Huff, roter fææælt nå!

Takk for hjelpen uansett

EDIT: Fant forøvrig denne siden som fort forklarer delvis integrasjon: http://folk.uio.no/sindrf/pres/eksempel.html

Sikkert noen som kan lære av den også.