matematikk.net

And finally!

Oppgave 23.4:
Vi sykler med jevn fart rett fram bortover på et horisontalt underlag.
Et punkt [tex]P[/tex] på et av dekkene er på bakken ved [tex]t=0[/tex].
Etter [tex]t[/tex]sekunder er posisjonen til punktet[tex]P[/tex] gitt ved
[tex]\vec {r}(t)=[3\pi t -\frac{1}{4}sin(12\pi t), \frac{1}{4}-\frac{1}{4}cos(12\pi t)][/tex].

g)Vis at farten til P etter t sekunder er:[tex]v(t)=3\pi \sqrt{2-2cos(12\pi t)}[/tex]

i) Finn farten til sykkelen.

[tex]\vec v(t)=\vec r^\prime(t)[/tex]

Videre er [tex]v(t)=|\vec v(t)|=\sqr{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t))^2}[/tex]

Dette forteller meg noe Olorin og håper noen kan bekrefte det;

Svaret på oppgave i) som var å finne farten til sykkelen går jeg frem slik;

[tex]v(t)=3\pi \sqrt{2-2cos(12\pi t)}[/tex]

Da er den totale farten gitt ved;

[tex]|v(t)|=\sqrt{9\pi^2 + (\sqrt{2-2cos(12\pi t)})^2}[/tex]

Setter[tex]cos(12\pi t)=1[/tex]

Og dette gir;

[tex]|v(t)|=\sqrt{9\pi^2 + (2-2 \cdot 1)}=3\pi +0=3\pi [/tex]


Og for oppgave g) der jeg skulle vise at farten til P etter t sekunder er gitt ved [tex]v(t)=3\pi sqrt{2-2cos(12\pi t)}[/tex]

Så finner jeg den antideriverte til [tex]v(t)[/tex] som er [tex]r(t)[/tex] sant?


Kan noen bekrefte om jeg er på riktig spor på oppgave g og om oppgave i er riktig?

Skjønner ikke hva du driver med her. Ser i hvert fall ikke riktig ut. Hva mener du med "den totale farten |v(t)|" ? Uttrykket v(t) ER den totale farten til P. Du skal ikke antiderivere v(t), hva ville poenget med det vært? (du kan bruke det til å finne buelengden til banen til P forresten, men det er ikke det oppgaven spør om).

Å finne farten til sykkelen krever at du forstår at farten til P til en hver tid er summen av banefarten (dvs farten til P hvis hjulet P hadde stått stille i forhold til bakken og rotert) og farten til sykkelen. At hjulet ruller betyr at, som jeg har sagt i en tidligere post, at farten til P når det er borti bakken må være null, dvs farten til sykkelen er lik banefarten der. Banefarten til P er hele tiden 3PI, derfor er sykkelens fart også 3PI.

Jeg ser alltid for meg at [tex]|v(t)|[/tex] er den totale farten fordi når det står absolutt tegn foran og bak så betyr det at det er som :[tex]\sqrt{vx^2+vy^2}[/tex].Og jeg tenkte på antideriveringen for oppgaven spurte om jeg kunne vise om farten til P etter t sekunder var gitt ved [tex]v(t)=3\pi \sqrt{2-2cos(12\pi t)}[/tex], men tok visst feil der, hvordan skal det egentlig vises?

Og dette skjønte jeg ikke helt:

Banefarten til P er hele tiden 3PI, derfor er sykkelens fart også 3PI.

Hvordan vet du at banefarten til P er 3PI hele tiden?

Kan dette bevises matematisk?

Ok, nomenklaturen jeg har brukt tidligere har kanskje vært forvirrende. Funksjonen jeg har kalt v(t) = sqrt(vx^2 + vy^2) har altså vært den totale farten. Egentlig er det best å kalle den |v(t)| så den ikke skal forveksles med vektorfunksjonen for farten. Altså har vi allerede svart på oppgaven om den totale farten til P da vi fant |v(t)| som vi gjorde da vi skulle vise hvor farten til P var størst.

Den letteste måten å finne sykkelens fart på er nok som følger: Når P befinner seg på høyre eller venstre ytterkant av hjulet, så peker banefarten rett ned/opp, altså vil all farten P har i x-retning kun komme fra farten hele hjulet har bortover. Dvs farten til hjulet er lik x-komponenten til farten til P i disse posisjonene.

Dette bildet klarte jeg ikke helt å skjønne,men å finne farten til sykkelen skal det vel gå av å forkorte eller derivere et uttrykk eller no slikt?

Hvordan kommer det seg til at farten til sykkelen er [tex]3\pi[/tex]?

Det må jo foreligge en utregning til svaret med tall?

Du finner ikke en lettere måte å gjøre det på. Du må bare skjønne følgende:

Når y-posisjonen til P er 1/4, så vil farten til P i x-retning være lik farten til hjulet. Finn denne farten, og du har svaret. Tegn det opp. Hvis hjulet kun hadde spunnet uten å bevege seg bortover, så vil x-farten til P være 0 når P er på disse punktene.

Den er atlså [tex]3\pi[/tex] Banefarten har vel alltid hvert det ,man kan se det fra dette [tex]v(t)=3\pi \sqrt{2-2cos (12\pi t)[/tex].

Men hvordan skal man svare på denne oppgaven her?:
g)Vis at farten til P etter t sekunder er:[tex]v(t)=3\pi \sqrt{2-2cos(12\pi t)}[/tex]

Det er bare å regne ut sqrt(vx^2 + vy^2). Det var en som viste det i detalj i en av de andre trådene dine.

[tex]v(t) = \sqrt{(3\pi - 3\pi\cos{(12\pi t)})^2 + (3\pi\sin{(12\pi t)})^2}[/tex]

[tex]v(t) = \sqrt{9\pi^2(1-\cos{(12\pi t)})^2 + 9\pi^2\sin^2{(12\pi t)}}[/tex]

[tex]v(t) = 3\pi\sqrt{(1-\cos{(12\pi t)})^2+\sin^2{(12\pi t)}}[/tex]

[tex]v(t) = 3\pi\sqrt{1-2\cos{(12\pi t)} + \cos^2{(12\pi t)} + \sin^2{(12\pi t)}}[/tex]

[tex]v(t) = 3\pi\sqrt{1-2\cos{(12\pi t)} + 1} = 3\pi\sqrt{2(1-\cos{(12\pi t))}}[/tex]

[tex]v(t) = 3\pi\sqrt{2}\sqrt{1-\cos{(12\pi t)}}[/tex]

Som vil ha sin maksimale verdi når:

[tex]\cos{(12\pi t)} = -1[/tex]

Dette gir [tex]v(t) = 3\pi\sqrt{2}\sqrt{1-(-1)}=6\pi[/tex]

Fordi t verdien [tex]\frac{1}{4}[/tex] spiller en rolle i denne utligningen tyder det på at det er farten denne utligningen gir.