Kurven K er gitt ved [tex]r=e^{\frac{\theta}{\pi}} \; , \; \theta[0,2\pi][/tex].
Finn arealet av det flatestykket avgrenset av K og de positive koordinataksene.
Prøver;
[tex]\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\frac{\theta}{\pi}})^2 d\theta=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{\frac{\theta}{\pi}} \cdot e^{\frac{\theta}{\pi}} d\theta=\frac{1}{2}[e^{\frac{\theta}{\pi}} \cdot e^{\frac{\theta}{\pi}}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}[/tex]
Er dette riktig? Hva gjør jeg feil?
Areal og polarkordinater
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Ta det ubestemte integralet først når du er usikker
[tex]\frac12\int (e^{\frac{\theta}{\pi}})^2\rm{d}\theta=\frac12\int e^{\frac{2\theta}{\pi}}\rm{d}\theta[/tex]
Videre kan du bruke substitusjon
[tex]\frac12\int (e^{\frac{\theta}{\pi}})^2\rm{d}\theta=\frac12\int e^{\frac{2\theta}{\pi}}\rm{d}\theta[/tex]
Videre kan du bruke substitusjon
Sist redigert av Olorin den 18/08-2008 15:11, redigert 2 ganger totalt.
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Bruk variabelskifte.
[tex]\int e^{\frac{2\theta}{\pi}}\rm{d}\theta=\frac{\pi}{2}\int \frac{2}{\pi} e^{\frac{2\theta}{\pi}}\rm{d}\theta[/tex]
Ser du hva u blir?
[tex]\int e^{\frac{2\theta}{\pi}}\rm{d}\theta=\frac{\pi}{2}\int \frac{2}{\pi} e^{\frac{2\theta}{\pi}}\rm{d}\theta[/tex]
Ser du hva u blir?
Ja,jeg ser hva u blir,bruker substitusjon eller kalt variabelskifte. Prøver det ut her;
[tex]\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\frac{\theta}{\pi}})^2=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{\frac{2\theta}{\pi}}[/tex].
Setter [tex]u=\frac{2\theta}{\pi}\; \; \; \frac{du}{d\theta}=\frac{2}{\pi}\; \; \; \frac{\pi}{2} du=d\theta[/tex]
Da får jeg :
[tex]\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\frac{\theta}{\pi}})^2=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{\frac{2\theta}{\pi}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{u} \frac{\pi}{2}du=\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{u}du=\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}[e^{u}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{4}(e-1)[/tex]
[tex]\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\frac{\theta}{\pi}})^2=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{\frac{2\theta}{\pi}}[/tex].
Setter [tex]u=\frac{2\theta}{\pi}\; \; \; \frac{du}{d\theta}=\frac{2}{\pi}\; \; \; \frac{\pi}{2} du=d\theta[/tex]
Da får jeg :
[tex]\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^{\frac{\theta}{\pi}})^2=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{\frac{2\theta}{\pi}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{u} \frac{\pi}{2}du=\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{u}du=\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}[e^{u}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{4}(e-1)[/tex]
[tex]\frac12\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{\frac{2\theta}{\pi}}\rm{d}\theta=\frac{\pi}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{2}{\pi}e^{\frac{2\theta}{\pi}}\rm{d}\theta \\ u=\frac{2\theta}{\pi} \,\,\,\, \rm{d}u=\frac{2}{\pi}\rm{d}\theta \\ \frac{\pi}{4}\int_0^1 e^u \rm{d}u=\frac{\pi}{4}[e^u]_0^1=\frac{\pi}{4}(e-1)[/tex]
Ser du fikk det til selv, men jeg synes jeg så feil i notasjonen din, ang. grensene etter variabelskifte. Kan ha vært en skriveleif, såklart...
[tex]\int_b^a g^\prime(x)f\left(g(x)\right)\rm{d}x=\int_{g(b)}^{g(a)}f(u)\rm{d}u \\ u=g(x) \,\,\,\,\, \rm{d}u=g^\prime(x) \rm{d}x[/tex]
Ser du fikk det til selv, men jeg synes jeg så feil i notasjonen din, ang. grensene etter variabelskifte. Kan ha vært en skriveleif, såklart...
[tex]\int_b^a g^\prime(x)f\left(g(x)\right)\rm{d}x=\int_{g(b)}^{g(a)}f(u)\rm{d}u \\ u=g(x) \,\,\,\,\, \rm{d}u=g^\prime(x) \rm{d}x[/tex]
