Kjapt spørsmål til lodve

[Realist1]

Har dere hatt første matteprøve i R1 enda? Hvis så, hva hadde dere om og hvordan gikk det?

[Emilga]

Det finnes faktisk en fantastisk funksjon som heter privat melding.

[lodve]

Halla, realist1 :p Vi skal ha prøve nå på torsdag om Algebra kapittel 1.

[MatteNoob]

Det finnes faktisk en fantastisk funksjon som heter privat melding.

La dem kommunisere på forum, jeg er nysgjerrig!

[Olorin]

for en gjeng ,)

[Realist1]

Hehe, husker jeg la ut en 3-4 prøver fra 1T til lodve, så jeg håpte kanskje at vi ville få til noe som kunne hjelpe på samme måte her.
Hvem vet, kanskje flere har interesse av det?

Her er forresten den første prøven vår!

Oppgave 1
Et polynom P er gitt ved [tex]P(x)=x^3+x^2-10x+8[/tex]
a) Regn ut P(2).
b) Finn alle nullpunktene til P, og faktoriser P(x) mest mulig.
c) Finn resten i divisjonen [tex]P(x) \ : \ (x+1)[/tex] uten å utføre divisjonen.
d) Forkort uttrykket
[tex]\ \ \frac{x^3+x^2-10x+8}{x^2-16}[/tex]
e) Bestem a slik at brøken
[tex]\ \ \frac{x^3-ax^2+3ax+10}{x-2}[/tex]
kan forkortes.

Oppgave 2
a) Løs ulikhetene ved regning.
1) [tex]-x^3+9x < 0[/tex]
2) [tex]\frac{2x^2-x}{x+5} < 0[/tex]
b) Løs likningen ved regning.
[tex]\ \ \frac{x}{x-4}-\frac{5}{x}=\frac{16}{x^2-4x}[/tex]
c) Vis at
[tex]\ \ \frac{x+4}{2x-1} > 2 \ \Leftrightarrow \ \frac{3(2-x)}{2x-1} > 0[/tex]
d) Bruk resultatet i oppgave c) til å løse
[tex]\ \ \frac{x+4}{2x-1} > 2[/tex].

Oppgave 3
a) Skriv inn uttrykkene på svararket ditt og sett inn [tex]\Rightarrow[/tex], [tex]\Leftarrow[/tex] eller [tex]\Leftrightarrow[/tex] i de tomme rutene.
1) [tex]2x^2 = 50 \ \box \ x = 5[/tex]
2) [tex]x = 2 \ \vee \ x=-1 \ \box \ 2x^2-2x=4[/tex]

b) La x være et heltall.
Vis at [tex]x^2+x[/tex] er et partall.

[Realist1]

Bare noterer ned den første X-prøven også, som vi hadde i dag, for egen, og forhåpentligvis også andres, interesse
---------
I alle oppgavene må du vise utregningene for å få full uttelling.

Oppgave 1

a) Primtallsfaktoriser tallene hvis det er mulig.
1) 396 2) 397

b) Vis, uten bruk av lommeregner, at tallet 91 308 151 er delelig med 11.

c)
1) Finn sfd(13 650, 1540).
2) Finn mfm(13 650, 1540).
3) Finn summen og forkort svaret mest mulig.
[tex]\ \ \frac{1}{13 650}+\frac{1}{1540}[/tex]

Oppgave 2
De pytagoreiske primtallene er primtall på formen 4n+1, der n er et helt tall.
a) Skriv de fem første pytagoreiske primtallene.
b) Vis at 53 er et pytagoreisk primtall.
c) Vis at 43 ikke er et pytagoreisk primtall.
d) De pytagoreiske primtallene kan skrives som en sum av to kvadrattall. (Kvadrattallene er 1[sup]2[/sup], 2[sup]2[/sup], 3[sup]2[/sup],... osv). Skriv 53 som en sum av to kvadrattall.
e) De pytagoreiske primtallene er akkurat lengden av hypotenusen i en rettvinklet trekant med heltallige sider. I en rettvinklet trekant er hypotenusen 13. Finn lengden til katetene.

Oppgave 3
En diofantisk likning er gitt ved
[tex]12x+45y=6[/tex]
a) Vis at likningen har løsning.
b) Løs likningen ved hjelp av euklidalgoritmen.

Oppgave 4
I en kasse ligger det Sinus 1T-bøker og coSinus 1T-bøker. Sinus 1T-boka veier 784 g og coSinus 1T-boka veier 362 g. Til sammen veier bøkene 11,762 kg.
Finn hvor mange av hver boktype som ligger i kassa ved å løse en diofantisk likning.
Løser du oppgaven ved euklidalgoritmen får du dobbelt så mange poeng som ved en grafisk løsning.
_______________________________
Er det noen her inne som har X?

[Realist1]

For min egen del tror jeg det gikk bra på alle oppgavene, men basert på samtaler med andre, virker dette som de oppgavene folk sleit mest med:

Prøve R1:
1c
1e
3b

Prøve X:
2e
3b
4

Hvis noen har lyst til å bryne seg på dem.

[2357]

2e, virkelig?

[tex]13=2^{2}+3^{2}[/tex] som betyr at det minste katet er 9-4=5 og ergo må det siste katet være 12.

[tex]a=q^{2}-p^{2}[/tex] [tex]b=2pq[/tex] [tex]c=q^{2}+p^{2}[/tex]

[Gommle]

Koselig at du skriver prøvene, siden skolen min har lagt X-matte til VG3, og jeg tenkte å gjøre det ved siden av.

[Realist1]

2e, virkelig?

[tex]13=2^{2}+3^{2}[/tex] som betyr at det minste katet er 9-4=5 og ergo må det siste katet være 12.

[tex]a=q^{2}-p^{2}[/tex] [tex]b=2pq[/tex] [tex]c=q^{2}+p^{2}[/tex]

Virkelig.
Jeg løste den på en litt mindre effektiv måte, men det får nå så være. Først trodde jeg at svaret var 2 og 3, siden 4 + 9 er 13. Det var faktisk ganske tilfeldig at jeg kom på at formelen er a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]=c[sup]2[/sup], og jeg måtte begynne å regne på nytt.
Snakket med 3 i klassen, og en av dem hadde riktig, en svarte 2 og 3, og en gav den opp.

[lodve]

Oppgave 1 e) så er svaret a = -9?

[Realist1]

Det var hvertfall det jeg svarte, så jeg håper det Prøvde å sette prøve på det, og mener jeg fikk riktig, men jeg var dårlig under prøven, og husker egentlig lite av hva jeg gjorde, så jeg bare håper jeg var klar nok i toppen til at jeg gjorde det riktig.

[Realist1]

Da har vi fått R-prøven tilbake allerede, og vedlagt lå et løsningsforslag som jeg tenkte jeg kunne poste her.

Orker dog ikke å tegne fortegnsskjema, så akkurat den biten, mellom faktorisering og løsning, hopper jeg over.

LØSNINGSFORSLAG R1 Kap 1 Algebra

Oppg. 1
[tex] \ \ P(x)=x^3+x^2-10x+8[/tex]

a) [tex]P(2)=2^3 + 2^2 - 10 \cdot 2 + 8 \ = \ 8+4-20+8 \ = \ \underline{\underline{0}}[/tex]

b) [tex]\ (x^3+x^2-10x+8) : (x-2)=\underline{x^2+3x-4}[/tex]
[tex]\ \ - \underline{(x^3-2x^2)}[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x^2-10x[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ \ - \underline{(3x^2-6x)}[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -4x+8[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \underline{(-4x+8)}[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0[/tex]

Setter x[sup]2[/sup]+3x-4=0
[tex]x=\frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \ \Rightarrow[/tex]

[tex]\underline{\underline{x_1=-4}} \ \vee \ \underline{\underline{x_2=1}}[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Nullpunkt: x=2, x=-4 og x=1}}}[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Faktorisering: P(x)=(x-2)(x+4)(x-1)}}}[/tex]

c) [tex]P(x) : (x+1)[/tex]
[tex]\ \ P(-1)=(-1)^3+(-1)^2-10(-1)+8 \ = \ -1+1+10+8 \ = \ \underline{18}[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{Resten er lik 18.}}}[/tex]

d) [tex]\frac{x^3+x^2-10x+8}{x^2-16} = \frac{(x-2)(x+4)(x-1)}{(x-4)(x+4)} = \frac{(x-2)(x+1)}{x-4} = \underline{\underline{\frac{x^2-3x+2}{x-4}}}[/tex]

e) [tex]\frac{x^3-ax^2+3ax+10}{x-2}=\frac{P(x)}{x-2}[/tex]
(Kan forkortes hvis P(2)=0.
[tex]P(2)=2^3 - a \cdot 2^2 + 3 \cdot a \cdot 2 + 10 = 8-4a+6a+10 = 18+2a=0 \ \Rightarrow[/tex]
[tex]2a = -18 \ \Rightarrow \ \underline{\underline{a=-9}}[/tex]

Oppg. 2
a) 1)
[tex]-x^3+9x<0 \\ x(-x+9)<0 \\ x(9-x^2)<0 \\ x(3-x)(3+x)<0 \\ ... Fortegnsskjema ... \\ -x^3+9x<0 \ for \ \underline{\underline{-3<x<0 \ og \ x>3}} \\ evt. \ \underline{\underline{x \in \left\langle -3, \ 0 \right\rangle \ og \ x \in \left\langle 3, \ \rightarrow\right\rangle[/tex]

a) 2)
[tex]\frac{2x^2-x}{x+5} < 0 \Rightarrow \frac{x(2x-1)}{x+5} < 0 \\ ... Fortegnsskjema ... \\ \frac{2x^2-x}{x+5} < 0 \ for \ \underline{\underline{0<x<\frac12 \ og \ x<-5}} \\ evt. \ \underline{\underline{x \in \left\langle \leftarrow, \ -5 \right\rangle \ og \ x \in \left\langle 0, \ \frac12 \right\rangle[/tex]

b)
[tex]\frac{x}{x-4} - \frac5x = \frac{16}{x^2-4x} \\ x \neq 0 \ og \ x \neq 4 \\ \frac{x}{x-4} - \frac5x = \frac{16}{x(x-4)} \ \ \ F.N.=x(x-4) \\ \frac{x}{x-4} \cdot x(x-4) - \frac5x \cdot x(x-4) = \frac{16}{x(x-4)} \cdot x(x-4) \\ x^2 - 5(x-4) = 16 \\ x^2-5x+20=16 \\ x^2-5x+4=0 \\ \ \\ x=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \ \Rightarrow \\ x=\frac82=\underline{4} \ eller \ x=\frac22=\underline{1} \\ \underline{\underline{\text{Kun x=1 kan brukes som losning}}}[/tex]

c)
[tex]\frac{x+4}{2x-1} > 2 \ \Rightarrow \ \frac{x+4}{2x-1} - \frac{2(2x-1)}{2x-1}>0 \ \Rightarrow \ \frac{x+4-4x+2}{2x-1}>0 \ \Rightarrow \\ \frac{-3x+6}{2x-1}>0 \ \Rightarrow \ \frac{3(-x+2)}{2x-1}>0 \ \Rightarrow \ \frac{3(2-x)}{2x-1}>0 \\ \underline{\underline{\text{Som skulle vises.}}}[/tex]

d)
[tex]\frac{x+4}{2x-1}>2 \ \Rightarrow \ \frac{3(2-x)}{2x-1}>0 \\ ... Fortegnsskjema ... \\ \underline{\underline{\frac{x+4}{2x-1}>2 \ for \ \frac12<x<2 \ \ (evt. \ x \in \left\langle \frac12, \ 2 \right\rangle)}}[/tex]

Oppg. 3
a) 1)
[tex]2x^2=50 \ \Leftarrow \ x=5 \\ x^2=25 \\ x= \pm \sqrt{25} \\ x= \pm 5[/tex]

a) 2)
[tex]x=2 \ \vee \ x=-1 \ \Leftrightarrow \ 2x^2 - 2x=4 \\ x^2 - x = 2 \\ x^2-x-2=0 \\ Loser \ pa \ kalkulator \\ x=2 \vee x=-1[/tex]

b) Vis at: x er et heltall [tex]\Rightarrow[/tex] x[sup]2[/sup]+x er et partall

x[sup]2[/sup]+x=x(x+1)
x er et heltall
[tex]\Rightarrow[/tex] enten er x et partall, eller er x+1 et partall
[tex]\Rightarrow[/tex] en av faktorene i x[sup]2[/sup]+x er partall
[tex]\Rightarrow[/tex] x[sup]2[/sup]+x er partall.
Q.E.D.


PUUH, tok lengre tid enn jeg trodde. Men det var da kos

[Thales]

vis du spørr meg så ser prøvene ganske enkle ut