arildno skrev:x-aksen er alle de punkter i rommet der y=z=0
Tilsvarende for de to andre koordinat-aksene.
Linja l kan beskrives som (2+t,-4, 4-2t), mens x-aksen kan beskrives som (x,0,0).
Å minimalisere avstanden mellom disse linjene er et samme som å minimalisere kvadratet av avstanden mellom to vilkårlige punkter på linjene, dvs finne minimum av funksjonen:
[tex]G(x,t)=(2+t-x)^{2}+16+(4-2t)^{2}[/tex]
Da må begge de partielle deriverte være 0:
[tex]\frac{\partial{G}}{\partial{x}}=-2(2+t-x)=0\to{x=2+t}[/tex]
[tex]\frac{\partial{G}}{\partial{t}}=2(2+t-x)-4(4-2t)=0\to{t}=2[/tex]
Altså er t=2 og x=4 når G er minimalisert, G=16, dvs minimum avstand mellom l og x-aksen er 4.
Tilsvarende regning vil gi deg linjas minste avstand til de andre koordinataksene.
Absolutt! Jeg forstår ikke hva partielle deriverte betyr, men etter å ha lest det du skrev og prøvd meg i fem og førti minutter kom jeg fram til to måter å løse denne saken på:
For en som liker å bruke formeler (ikke meg) , ville denne metoden:
l : [tex][x,y,z] = [2,-4,4] + t[1,0,-2][/tex]
Dette beskriver linja. Q=(2,-4,4) er et punkt på linja!
Et punkt på x-aksen er (x,0,0) => (1,0,0)
Retningsvektoren for x-aksen er [1,0,0]
Vi kan derfir lage en prameterframstilling for x-aksen:
[tex]x: [x,y,z] = [1,0,0] + s[1,0,0][/tex]
P = (1,0,0) er et punkt på x-aksen. Jeg finner vektoren fra Q på linja til P på x aksen:
[tex]\vec{QP} = [-1,4,-4][/tex]
En vektor som står vinkelrett på både linja og x-aksen ville være kryssproduktet til retningsvektorene til disse to linjene.
[tex]\vec{v} \times \vec{u}[/tex] = [0,-2,0]
Avstanden er absoluttverdien av skalarproduktet mellom kryssproduktet delt på absoluttverdien til kryssproduktet. Altså:
[tex]\frac{|[0,-2,0]\cdot[-1,4,-4]|}{|[0,-2,0]} = \frac{8}{2} = 4[/tex]
Den andre metoden:
Vi kaller linja for et punkt P= (2+t,-4,4-2t) og x-aksen for en punkt Q = (1+s,0,0)
[tex]\vec{PQ} = [s-t-1,4,2t-4][/tex]
Vi vet at denne vektoren har minste avstand når den både står vinkelrett på retningsvektoren til linja og retningsvektoren til x-aksen. Da blir skalarproduktet null.
[tex]\vec{PQ} \cdot \vec{u} = 0[/tex]
[tex]\vec{PQ} \cdot \vec{u} = 0[/tex]
Det gir:
[tex][s-t-1,4,2t-4]\cdot[1,0,-2] = 0[/tex]
[tex][s-t-1,4,2t-4]\cdot[1,0,0}] = 0[/tex]
Dette gir at:
[tex]s=1+t[/tex]
[tex]t= 2[/tex]
[tex]S= 3[/tex]
Nå har jeg de verdiene som gjør at[tex] \vec{PQ}[/tex] står vinkelrett på begge retningsvektorene. Da er det bare å finne absoluttverdien til [tex]\vec{PQ}[/tex]
[tex]|\vec{PQ}| = \sqrt{0^2+4^2+0^2} = 4[/tex]
