matematikk.net

Kvadratroten av 4. Hvorfor blir dette 2 og ikke både 2 og minus 2?

Med Kvadratroten av 4 spør vi jo om hvilket tall opphøyd i annen, som blir fire. Og da gjelder -2 også.

Har jeg glemt noe viktig eller?

Takk![rot][/rot]

Kvadratroten av 4 er som du påpeker både -2 og 2. Så i dette tilfelle har du ikke glemt noe i det hele tatt.

[rot][/rot]4=2
Kvadratroten av et tall er ALLTID positiv etter definisjonen.
Men har vi x[sup]2[/sup]=4, får vi x=+-2.
Vedløsning av den ligningen kan man altså IKKE gjøre slik:
x[sup]2[/sup]=4
x=[rot][/rot]4=+-2, DETTE ER FEIL!

Man kan derimot gjøre slik:
x[sup]2[/sup]=4
x=+-[rot][/rot]4=+-2

Hmm, ser at Kent har "rett" i Norge.

Norsk definisjon: Kvadratroten av et tall er det positive tall som opphøyd i 2. potens gir tallet selv

I det store utland så defineres kvadratroten(square root) til et tall a som: Det tallet som opphøyd i 2. potens gir tallet a.

PS! Det skal sies principal square root tilsvarer den norske definisjonen på kvadratrot. Om dette har en direkte oversettelse til norsk aner jeg ikke.

Fremdeles litt uenig, men jeg ser poenget ditt.

"In mathematics, the principal square root of a non-negative real number x is denoted [rot][/rot]x and represents the non-negative real number whose square (the result of multiplying the number by itself) is x."
"To obtain both roots of a positive number, take the value given by the principal square root function as the first root (root1) and obtain the second root (root2) by subtracting the first root from zero (ie root2 = 0 - root1)."
"Suppose that x and a are reals, and that x[sup]2[/sup] = a, and we want to find x. A common mistake is to "take the square root" and deduce that x=[rot][/rot]a. This is incorrect, because the principal square root of x[sup]2[/sup] is not x, but the absolute value |x|, one of our above rules. Thus, all we can conclude is that |x|=[rot][/rot]a, or equivalently x=+-[rot][/rot]a. "
http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root

"Note that any positive real number has two square roots, one positive and one negative. For example, the square roots of 9 are -3 and +3, since (-3)[sup]2[/sup]=(+3)[sup]2[/sup]=9. Any nonnegative real number x has a unique nonnegative square root r; this is called the principal square root and is written r=x[sup]1/2[/sup] or r=[rot][/rot]x. For example, the principal square root of 9 is [rot][/rot]9=+3, while the other square root of 9 is -[rot][/rot]9=-3. In common usage, unless otherwise specified, "the" square root is generally taken to mean the principal square root."
http://mathworld.wolfram.com/SquareRoot.html

Det som på norsk heter kvadratrot er det samme som principal square root. Det nærmeste vi kommer det engelske square root er vel kanskje rot, selv om root er en bedre engelsk oversettelse. Det finnes heller ikke noe tegn for square root annet enn +-{principal square root}.[rot][/rot]

Det ser for meg ut til at Toppris ikke helt vet forskjellen på entall og flertall; er det to kvadratrøtter, så kan ikke de to kalles for kvadratroten! Forresten har ikkje-negative reelle tal bare én kvadratrot, per definisjon.

Engelsk er ikke det norske fagspråkets store rettesnor. Det finst andre fagspråk også, og ikke så rent få av dem definerer kvadratrøtter entydig uten at de legger til et ekstra ord i navnet. Se for eksempel http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel (andre språk er nevnde i venstremargen): "Definition: Die Quadratwurzel [rot][/rot]x einer nicht-negativen reellen Zahl x ist diejenige nicht-negative reelle Zahl r, deren Quadrat r[sup]2[/sup] = r*r gleich x ist." Kent har tydeligvis rett i Tyskland også, som altså ifølge Toppris ikke hører til "det store utland". Det gjør heller ikke Sverige, Danmark, Nederland og flere land med.

Nå har jeg vanskelig for å ta noen serisøst når de skal henge seg opp i en liten skrivefeil, men det skal gå for denne gang.

Anonymous skrev: Engelsk er ikke det norske fagspråkets store rettesnor. Det finst andre fagspråk også, og ikke så rent få av dem definerer kvadratrøtter entydig uten at de legger til et ekstra ord i navnet. Se for eksempel http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel (andre språk er nevnde i venstremargen): "Definition: Die Quadratwurzel [rot][/rot]x einer nicht-negativen reellen Zahl x ist diejenige nicht-negative reelle Zahl r, deren Quadrat r[sup]2[/sup] = r*r gleich x ist." Kent har tydeligvis rett i Tyskland også, som altså ifølge Toppris ikke hører til "det store utland". Det gjør heller ikke Sverige, Danmark, Nederland og flere land med.

Det kan godt være at de landene som du nevner definerer kvadratrøtter entydig, men det kommer ikke frem av de eksemplene du skriver. De forskjellige språkene på den siden er bare en oversettelse av en definisjon som i utgangspunktet er "feil".

Jeg tror både meg og Kent er enige:
"In common usage, unless otherwise specified, "the" square root is generally taken to mean the principal square root."
http://mathworld.wolfram.com/SquareRoot.html

Hva komplekse røtter angår så har et negativt tall to kvadratrøtter de også.

Unnskyld at jeg virket litt useriøs i mitt forrige innlegg. Det skyldtes nok at jeg tolket et av innleggene dine ovenfor som sarkasme med "Norge og det store utland", og at jeg ble revet litt med. Det var barnslig, selvsagt.

Definisjonen som blir brukt (blant annet) i Norge er nok ikke helt god, når jeg tenker meg litt om. Problemet ligger i at en ikke på tilsvarende vis har gitt en definisjon som på en enkel, klar, entydig måte "prioriterer" den ene roten av likningen x^2 = r framfor den andre for negative r (eller mer generelt, for komplekse r), og difor er definisjonen ikke helt tilfredsstillende. (Det er bedre å si at en kvadratrot til et tall r er et tal x slik at x^2 = r enn å si at det er ett bestemt av to mulige tall for r > 0, men eit vilkårlig av to mulige for for eksempel r = i+1.) Noe fundamentalt problem er nok dette likevel ikke.

[rot][/rot][rot][/rot][rot][/rot][rot][/rot] mange kvadratrot! haha

Når jeg leser i Per

http://www.matematikk.net/klassetrinn/k ... tenser.php

Så kommer ikke dette med negativ rot frem når de snakker om potenser. Siden det er per definisjon at Sqrt(4) = 2, men Sqrt(4)=-2 er ikke feil fordi (-2)^2 = 4, så bør dette komme med i artikkelen gitt i linken over? Hva syns dere?

En annen ting værdt å nevne er at løsningen som gir to røtter gjelder bare for partall-kvadratrøtter (rot, fjerderot, sjetterot)? Da tenker jeg på X^(1/2), X^(1/4), X^(1/6) osv.

Mvh,
MV

Enig med mathvrak, men litt pirk når det gjelder antall løsninger.

Faktisk så er det slik at n-te roten av et tall gir n løsninger.
Grunnen til at "folk flest" ikke vet om alle disse er at noen av dem er komplekse. Det er altså bare partall-kvadratrøtter som gir 2 reelle løsninger, men også de kan ha flere løsninger hvis man regner i det komplekse planet.

Ikke noe man bør bry seg mye om før det dukker opp i pensum, men greit å være klar over.

Artikkelen i Per bør redigeres. Den definisjonen som er gitt der er feil i Norge, samt en del andre land. Fra Per: "Kvadratroten av et tall m, er et tall n som ganget med seg selv gir m." Dette er IKKE den norske definisjonen av en kvadratrot. Setningen bør forandres til "Kvadratroten av et tall m, er et positivt tall n som ganget med seg selv gir m."
Legg også merke til en setning litt lengre nede på siden: "Roten av et tall (n) kan være et negativt tall." Dette blir forvirrende når de ikke har skillet mellom kvadratrot og hva de mener med roten.
Mathvrak skrev at det ikke er feil å skrive Sqrt(4)=-2. Dette ER feil fordi du har benyttet kvadratroten [rot][/rot]. Det er IKKE tillatt. Se et tidligere sitat fra mathworld. [rot][/rot] betyr principal square root, IKKE det mer ubestemte square root. Det bør i den sammenheng påpekes i Per at en ligning av typen x[sup]2[/sup]=4 IKKE løses slik: [rot][/rot]x[sup]2[/sup]=x=[rot][/rot]4=2. Den skal løses slik: x=+-[rot][/rot]4=+-2. I Norge må man altså eksplisitt skrive +- foran kvadratroten. |x|=[rot][/rot]4 kan også skrives. Evt. kan man vel kutte ut hele kvadratroten og bare skrive x=+-2.
Problemet oppstår vel ettersom vi har et uttrykk som tilsvarer principal square root, men ikke noe som tilsvarer square root. Allikevel bør man være konsekvent når man bruker kvadratrot, det betyr principal square root og bør ikke benyttes som erstatning for square root.

Kent skrev: Mathvrak skrev at det ikke er feil å skrive Sqrt(4)=-2. Dette ER feil fordi du har benyttet kvadratroten [rot][/rot]. Det er IKKE tillatt. Se et tidligere sitat fra mathworld. [rot][/rot] betyr principal square root, IKKE det mer ubestemte square root.

Ok så hvis jeg hadde skriblet:

4^(1/2) = ( (-2)(-2) )^(1/2) = -2

så hadde det vært ok men ikke ok hvis jeg hadde brukt rot tegnet?
Kan ikke helt se det positive med denne loven.

x[sup](m/n)[/sup] = [sup]n[/sup][rot][/rot]x[sup]m[/sup], så strengt tatt bruker du kvadratrotteiknet når du skriv 4^(1/2) = [rot][/rot]4. Det positive ligg i at a^x er eintydig bestemt gjeven a og x, og problemet knytt til likningar er berre at du må ta med +/-, slik som til dømes i den generelle formelen for røtene til ei andregradslikning.