Bevisføring av logaritmesetningene.
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Kan du si hva disse setningene er? "logaritmesetning 1,2 og 3" er bare noen navn boka di har gitt dem.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Ok, R1-boka mi kaller [tex]\lg(a^b) = b \lg a[/tex] for første logaritmesetning, [tex]\lg(ab) = \lg a + \lg b[/tex] for den andre og [tex]\lg(\frac{a}{b}) = \lg a - \lg b[/tex] for den tredje.
Nøkkelen til disse bevisene er å finne to uttrykk for det samme tallet. Jeg kan ta beviset for den første setningen.
Finner to uttrykk for [tex]a^b[/tex]: [tex]a^b = 10^{\lg(a^b)}[/tex] og [tex]a^b = (10^{\lg a})^b[/tex]. Disse uttrykkene må nødendigvis være like. Da har vi at [tex]10^{\lg(a^b)} = (10^{\lg a})^b[/tex]. Potensregelen [tex](a^b)^c = a^{bc}[/tex] gir da at [tex](10^{\lg a})^b = 10^{b \cdot \lg a}[/tex].
Vi har altså at [tex]10^{\lg(a^b)} = 10^{b \lg a}[/tex] og da må [tex]\lg(a^b) = b \cdot \lg a[/tex].
De andre setningene kan bevises på en tilsvarende måte.
Nøkkelen til disse bevisene er å finne to uttrykk for det samme tallet. Jeg kan ta beviset for den første setningen.
Finner to uttrykk for [tex]a^b[/tex]: [tex]a^b = 10^{\lg(a^b)}[/tex] og [tex]a^b = (10^{\lg a})^b[/tex]. Disse uttrykkene må nødendigvis være like. Da har vi at [tex]10^{\lg(a^b)} = (10^{\lg a})^b[/tex]. Potensregelen [tex](a^b)^c = a^{bc}[/tex] gir da at [tex](10^{\lg a})^b = 10^{b \cdot \lg a}[/tex].
Vi har altså at [tex]10^{\lg(a^b)} = 10^{b \lg a}[/tex] og da må [tex]\lg(a^b) = b \cdot \lg a[/tex].
De andre setningene kan bevises på en tilsvarende måte.
Elektronikk @ NTNU | nesizer