matematikk.net

Hei. Hvordan beviser man logaritmesetning en, to og tre?

Kan du si hva disse setningene er? "logaritmesetning 1,2 og 3" er bare noen navn boka di har gitt dem.

Ok, R1-boka mi kaller [tex]\lg(a^b) = b \lg a[/tex] for første logaritmesetning, [tex]\lg(ab) = \lg a + \lg b[/tex] for den andre og [tex]\lg(\frac{a}{b}) = \lg a - \lg b[/tex] for den tredje.

Nøkkelen til disse bevisene er å finne to uttrykk for det samme tallet. Jeg kan ta beviset for den første setningen.

Finner to uttrykk for [tex]a^b[/tex]: [tex]a^b = 10^{\lg(a^b)}[/tex] og [tex]a^b = (10^{\lg a})^b[/tex]. Disse uttrykkene må nødendigvis være like. Da har vi at [tex]10^{\lg(a^b)} = (10^{\lg a})^b[/tex]. Potensregelen [tex](a^b)^c = a^{bc}[/tex] gir da at [tex](10^{\lg a})^b = 10^{b \cdot \lg a}[/tex].

Vi har altså at [tex]10^{\lg(a^b)} = 10^{b \lg a}[/tex] og da må [tex]\lg(a^b) = b \cdot \lg a[/tex].

De andre setningene kan bevises på en tilsvarende måte.