matematikk.net

Hei:) Hvordan regner jeg ut vektorproduktet uten determinanter?

For eksempel denne oppgaven?

Punktene A(-2,1,1), B(1,-1,2) og C(-1,3,3) er gitt.
a) Regn ut AB x AC.
b) Finn arealet av trekant ABC.
c) Finn avstanden fra C til AB.

Vel, du kan bruke denne formelen (som egentlig er "de samme" regneoperajonene som "determinant"-metoden):

La [tex]\vec u = [x_1, y_1, z_1][/tex] og [tex]\vec v = [x_2, y_2, z_2][/tex], da er vektorproduktet gitt ved:

[tex]\vec u \times \vec v = [y_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot y_2, -(x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2), x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2][/tex]

Hm. Jeg innbiller meg at du har rotet litt.

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_pro ... e_notation

Jeg får når jeg lar [tex]\vec{a}=[a_1,a_2,a_3][/tex], og [tex]\vec{b}=[b_1,b_2,b_3][/tex]

[tex]\vec{a}\times\vec{b}=[a_2b_3-a_3b_2, \, a_3b_1-a_1b_3,\,a_2b_1-a_1b_2][/tex]

Det nok du som ikke ser helt godt.

En liten forskjell mellom min riktige tredje-koordinaten og din. Andre-koordinaten er den samme...

Sjekk selv, "din rotekopp"!

Med din notasjon skal det være:


[tex][a_2 b_3 - a_3 b_2 ,\, a_3 b_1 - a_1 b_3 ,\, a_1 b_2 - a_2 b_1][/tex]

Sjekk selv, "din rotekopp"!

Rotekopp er sikkert og visst, ihvertfall. Snart må jeg komme med munnkurv på meg selv. (Mao. innrømmer jeg min slurv i siste koordinat)

Men!

[tex]\vec u \times \vec v = [y_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot y_2, -(x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2), x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2][/tex]

Førstekoordinaten din mangler et minustegn?

Selvfølgelig kan det jo hende den faktisk skal gjøre det - men i så fall vil jeg gjerne ha forklaring.

Selvsagt! Du har rett. Det skal være minus i første-koordinaten

Da blir den riktige "versjonen" slik:

La [tex]\vec u = [x_1, y_1, z_1][/tex] og [tex]\vec v = [x_2, y_2, z_2][/tex], da er vektorproduktet gitt ved:

[tex]\vec u \times \vec v = [y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2, -(x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2), x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2][/tex]

eller uten minustegnet foran andre-koordinaten (slik du vel mente det, og slik det står i wikipedia):

[tex]\vec u \times \vec v = [y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2, z_1 \cdot x_2 - x_1 \cdot z_2, x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2][/tex]