Integrasjon

[halten]

[itgl][/itgl][rot][/rot](1+4x²) dx

??

[Gjest]

Her må du gjører om variablene (substitusjon)

der [U^(1/2)]' = (1/2)U^(-1/2) , U=(1+4x^2), U'=8x

Husk potensreglene: ([rot][/rot]U) = ([U^(1/2)])

Gjør om diffrensialet: U'dx = du <=> dx=du/U'

derfor: 8xdx=du <=> dx=du/8x Det som du gjør her er å dele på 8x på begge
sider, dersom du faller bort her vil jeg anbefalle deg å lese mer i boka)

det ubestemte integarlet blir da:

[itgl][/itgl]1/2*1/(U^0,5) du/8x

F(x)=ln(1+4x^2)/8x +C

Prøv og deriver F(x), kommer du til det ubestemte integralet du startet med så stemmer dette... jeg rekker ikke å teste det.. ser mer på det imorgen

[Gjest]

Jeg tror denne oppgaven er sdkrevet feil...
skal den heller ikke se slik ut da??:

[itgl][/itgl]8x[rot][/rot](4x^2+1)dx ???


Gab[rot][/rot]

[Kent]

Integralet kan evalueres med en invers tangens substitusjon siden det er på formen
[rot][/rot](a[sup]2[/sup]+x[sup]2[/sup])
x=a tan(u)
u=tan[sup]-1[/sup](x/a)

2x=tan(u)
2dx=sec[sup]2[/sup](u)du
1+4x[sup]2[/sup]=sec[sup]2[/sup](u)
I=[itgl][/itgl][rot][/rot](1+4x[sup]2[/sup])dx=(1/2)[itgl][/itgl][rot][/rot](sec[sup]2[/sup](u))sec[sup]2[/sup](u)du=(1/2)[itgl][/itgl]sec(u)sec[sup]2[/sup](u)du=(1/2)[itgl][/itgl]sec[sup]3[/sup](u)du
o=sec(u) v'=sec[sup]2[/sup]v
o'=sec(u)tan(u)du v=tan(u)
I=(1/2)sec(u)tan(u)-(1/2)[itgl][/itgl]sec(u)tan[sup]2[/sup](u)du=(1/2)sec(u)tan(u)-(1/2)[itgl][/itgl]sec(u)(sec[sup]2[/sup](u)-1)du=(1/2)sec(u)tan(u)+(1/2)[itgl][/itgl]sec(u)du-(1/2)[itgl][/itgl]sec[sup]3[/sup](u)du=(1/2)sec(u)tan(u)+(1/2)ln|sec(u)+tan(u)|-I
I=(1/4)sec(u)tan(u)+(1/4)ln|sec(u)+tan(u)|+C
=(1/4)[rot][/rot](1+4x[sup]2[/sup])2x+(1/4)ln|[rot][/rot](1+4x[sup]2[/sup])+2x|+C
=(x/2)[rot][/rot](1+4x[sup]2[/sup])+(1/4)ln|2x+[rot][/rot](1+4x[sup]2[/sup])|+C

Tror det blir noe slikt. Litt regning, men skal ikke være langt borte ifra svaret.

[halten]

Neida, oppgaven er skrevet riktig. Takk for løsningsforslaget, Kent.