matematikk.net

Hadde denne heildagsprøven i fjor, og tenkte andre kan ta nytte av den, siden de fleste har tentamen denne uken.

Del 1. Uten hjelpemidler.

Oppgave 1.

Et polynom P(x) er gitt ved:

[tex]P(x)=x^3+2x^2-9x-18[/tex]

a) Vis at (x+2) er en faktor i polynomet.

b) Løs ligningen P(x)=0 ved regning.

c) Løs ulikheten P(x)>0

d)Forkort brøken

[tex]\frac {P(x)}{2x^2-8}[/tex]

Oppgave 2.

a) Definer logaritmer.

b) Bruk definisjonen av logaritme til å finne :

1)[tex]lg 10000[/tex]

2)[tex]lg \sqrt[4]{10}[/tex]

3)[tex]ln(e^4\cdot e^2)[/tex]

c) Trekk sammen utrykket:

[tex]ln(x^2y)+ln(\frac {y}{x^2})-ln(\frac {x^2}{y})[/tex]

d) Bevis en av logartimesetningene.

Oppgave 3
Løs ligningene:

a) [tex]lnx+2=3[/tex]

b) [tex]2e^{2x+2}=8[/tex]

c) [tex]3\cdot e^x=9\cdot e^{-x}[/tex]

d) [tex]3\cdot 3^{2x}-4\cdot 3^x+1[/tex]

e) [tex]lg(x+1)+lg(x-1)=lg3[/tex]

Oppgave 4

a) Vis at summen av tre hele tall som følger etter hverandre er delelig på 3.

b) Vis at om x partall og y partall [tex]\Rightarrow x\cdot y[/tex] partall.

c) Undersøk hva du får om du ganger sammen to oddetall. Formuler en setning og bevis den.

Oppgave 5

For å kunne bruke et bankkort må du ha en firesifret tallkode (du kan bruke 0 i alle posisjoner).

a) Hvor mange forskjellige firesifrede tallkoder fins det?

b) Du husker at tallene 3,4,5,7, men du husker ikke rekkefølgen. Hvor mange koder må du høyst prøve for å finne den rette? (Dvs hvor mange kombinasjoner finnes det).

c) Du husker at første sifferet i koden din er 2, og at det tredje er 5. Hvor mange koder må du da høyst prøve for å finne den rette. (Dvs hvor mange kombinasjoner finnes det nå).

d)Regn ut [tex]\left (4\\2\right )[/tex]. Forklar med ord hva du har regnet ut.

Oppgave 6

I en klasse er det 16 gutter og 12 jenter, av disse har 12 gutter brune øyne, 4 gutter blå, 8 jenter brune og 4 jenter blå

Vi trekker ut en elev tilfeldig fra klassen, og definerer følgene hendinger:

G: Eleven er en gutt

B: Eleven har brune øyne.

a) Hvor stor er P(G)

b) Hva er sannsynligheten for at eleven er en gutt som har brune øyne?

c) Finn P(G|B) og P(B|G). Forklar hva du har regnet ut.

DEL 2: Med hjelpemidler

Oppgave 7

En elektrisk kobling består av 2 komponenter A og B. Disse to delene virker uavhengig av hverandre. Når de er koblet i serie, vil koblingen virke dersom begge komponentene er i orden. Hvis de to delene er koblet i parallell, vil koblingen virke dersom minst en av delene virker

Vi definerer hendingene:

A: Del A virker.
B: Del B virker

La P(A)=0.80 og P(B)=0.90

a) Hvor stor er sannsynligheten for at seriekoblingen virker?
b) Finn sannsynligheten for at seriekoblingen ikke virker.
c) Finn sannsynligheten for at parallellkoblingen ikke virker.
d) Hvor stor er sannsynligheten for at parallellkoblingen virker.

Vi skal nå se på en ny kobling der fire deler av typen A er koblet i parallell

e) Forklar hvorfor vi kan finne sannsynligheten for at denne virker ved å regne ut [tex]1-0.20^4[/tex]

f) Hvor mange deler av typen A må vi minst parallellekoble for at koblingen skal virke med en sannsynlighet på 0,9999? (Vis med regning)

Oppgave 8
a) Tegn grafene til funksjonene f og g i samme koordinatsystem der

[tex]f(x)=\left(\frac {3}{2} \right )^x[/tex]

[tex]g(x)=\left(\frac {2}{3} \right )^x[/tex]

b) Løs grafisk ulikhetene.

[tex]f(x)>\left(\frac {3}{2} \right )[/tex]

[tex]g(x)>\left(\frac {3}{2} \right )[/tex]

c) Løs ulikheten ved regning.
[tex]\frac {\left(\frac {3}{2} \right )^x-\frac {9}{4}}{\left(\frac {2}{3}\right )^x - \frac {9}{4}}>0[/tex]

Oppgave 9

a) I en stor kasse ligger det mange par med sokker for salg. En fabrikasjonsfeil har ført til at 20% av alle disse parene har en fargefeil som først kommer til syne ved vasking. Sokkene er derfor satt kraftig ned i pris.

Vi kjøper tilfeldig fire par

1) Hva er sannsynligheten for at ingen av parene har denne feilen?
2) Hva er sannsynligheten for at to av parene har denne feilen?

b) I en tilbudskasse ligger det 28 blå gensere. 16 av genserne har størrelsen L og resten størrelsen M. Vi trekker tilfeldig 4 par gensere fra kassen. La X være tallet på gensere med størrelse M blant de trukne.

1) Finn P(X=2)

2) Finn [tex]P(X\geq1)[/tex]

3) Fem av genserne i kassen har i tillegg merket Quality.
Hva er sannsynligheten for at en av de trukne genserne har dette merket?

Oppgave 10

Funksjonen f er gitt ved:

[tex]f(x)=10lnx-5(lnx)^2[/tex] , x>0

a) Regn ut

1) f(1) 2) f(e)

b) Faktoriser f(x) mest mulig.

c) Finn nullpunktene ved regning.

d) Tegn grafen til f

e) Løs ulikheten f(x)>0

1) Grafisk
2) Ved regning

f) En funksjon g er gitt ved

[tex]g(x)=10lnx-5(lnx^)^2+c[/tex] , x>0

Bestem c slik at g får akkurat et nullpunkt.

Har ikke funnet fasiten blant all rotet mitt, men skal leite mer i morgen.

(Er sikkert en del skrivefeil her og der, men fikser det etterhvert som jeg ser dem)

Det var en laaang heldagsprøve!

Hvordan var det med tiden? For deg og de andre i klassen?

Takk for prøven. Skal kose meg med den i juleferien.

Herlig!

Vi får geometri i tillegg til alt dette også da :/

Men mindre fokus på beviser.

Fasit:

Hopper over en del (forklare spørsmål o.l), men er nå greit nok fasit
1.

a) P(-2)=0

b)x=3 V x =-3 x=-2

c)-3<x<2 V x > 3

d) [tex]\frac {x^2-9}{2x-4}[/tex]

2.

a) Logaritmer til et tall er den eksponenten vi må opphøye et grunntall i for å få tallet. Vi har to typer logaritmer:

Briggske: [tex]x=10^{lgx}[/tex]
Naturlige [tex]x=e^{lnx}[/tex]

b)
1) 4
2) [tex]\frac {1}{4}[/tex]
3) 6

c) 3lny-2lnx

d)
[tex]lg(a\cdot b)=lg a +lg b[/tex]

Har: [tex]10^{lgab}=a\cdot b[/tex]

Må da vise at

[tex]10^{lg a +lg b}[/tex] blir det samme.

[tex]10^{lg a +lg b}=10^{lga}\cdot 10^{lgb}=a\cdot b[/tex] <-- OK

3.

a)e

b)ln 2 -1

c)[tex]\frac {ln3}{2}[/tex]

d)x=0 V x=-1

e)[tex]x=2[/tex]

4.

a) k=x+(x+1)+(x+2)
k=3x+3
k=3(x+1)=3n

Ergo er tallet delbart på 3.

b)x=2n og y=2m

[tex]2n \cdot 2m=2 \cdot 2nm = 2k= partall[/tex]

c) x=2n+1 og y=2m+1

[tex]x\cdot y= (2n+1)(2m+1)=4nm+2n+2m+1=2(2nm+n+m)+1=2k+1=oddetall [/tex]

5.

a)[tex]10^4[/tex]

b)24

c)100

d)6, På hvor mange måter kan vi trekke ut 2 element fra 4 når rekkefølgen ikke har betydning.(NB:Uten tilbakelegging).

6.

a)[tex]\frac {4}{7}[/tex]

b)[tex]\frac {3}{7}[/tex]

c)
[tex]P(G|B)=\frac {3}{5}[/tex]

[tex]P(B|G)=\frac {3}{4}[/tex]

7.

a)0.72

b)0.28

c)0.02

d)0.98

e)-

f)[tex]1-0.2^x=0.9999[/tex]

Da får du 5.72 som svar, og ergo må vi minst ha 6.

8.

b)
[tex]f(x)>\left(\frac {3}{2} \right )[/tex] Når x > 1

[tex]g(x)>\left(\frac {3}{2} \right )[/tex] Når x <-1

c) -2<x<2

9.
a)

1)0.41

2)0.154

b)

1)0.387

2)0.911

3)0.432

10.

a)

1)0

2)5

b)[tex]f(x)=5lnx(2-lnx)[/tex]

c) [tex]x=1 \vee x=e^2[/tex]

e)

2)[tex]1<x<e^2[/tex]

f)c=-5

ettam skrev:Det var en laaang heldagsprøve!

Hvordan var det med tiden? For deg og de andre i klassen?

Fikk dårlig tid med oppgave 10, skulle ønske jeg hadde 10 min ekstra til rådighet

OBS: Er sikkert skrivefeil i fasiten og ..er møkkalei av å skrive nå Tok EVIGHETER å skrive alt dette.

Andres345, har du skrevet av oppgave 3 d) i første del uten hjelpemidler riktig?

Ellers flott gjort av deg å legge ut R1 tentamen fra ifjor

Stemmer den.

EDIT: Husket på at denne var feil xD Læreren hadde skrevet feil når han lagde tentamenen. Så teknisk sett var det ikke min feil..

Det skal stå:

[tex]3\cdot3^{2x}-4\cdot 3^x+1[/tex]

Hehe

Er fortsatt vanskelig å løse ligningen, som oppgava ber om :p

På oppgave 7b) med hjelpemidler:
Det jeg lurer på er hvorfor du ikke kan multiplisere P(ikke a) og P(Ikke b), men at vi istedenfor må trekke 1 fra P(a)*P(b)?

Fordi "seriekoblingen virker ikke" er IKKE det samme som "ingen av komponentene virker".

Ahhh, forstår det nå. Takk realist1

oppgave 7)
E) og F)

E)
Sannsynligheten for at del a virker er 0,80.

I en parallellkobling er nok i at minst en av delene av type a virker for at koblingen skal virke. Og derfor blir det feil å regne sannsynligheten for 4 deler av type a virker(P(a)*P(a)*P(a)*P(a)). Ergo blir det riktig å regne ut på denne måten:
1 - 0,20^4 = En av delene virker + to av delene virker + tre av delene virker + 4 av delene virker.
F) er jeg helt blank på.

Er usikker på oppgave e) og f) og trenger noen her som kanl hjelpe meg med disse to oppgavene?

Takk for hjelpen.

Oppgave 7


e) Forklar hvorfor vi kan finne sannsynligheten for at denne virker ved å regne ut 1-0.20^4
Dette er fordi kretsen kun feiler hvis ALLE koblingene feiler. 0.20^4 er sjansen for at den ikke fungerer, så den vil fungere i alle tilfeller utenom dette. Dvs. 1-0.20^4.

For at 1-0.20^x skal være over 0.9999, må [tex]x > \frac{-4}{lg(0,20)}[/tex]

Siden vi ikke kan ha delvise koblinger, må vi runde dette svaret oppover til x = 6.