Rekker

[TrulsBR]

Jeg vet ikke i hvilket aarstrinn dette er pensum, men jeg spoer her.

Jeg har funnet ut, er ikke sikker paa, at (1/x)^n = 1/(x+1) naar n gaar fra 1 til uendelig.
Stemmer dette? Hvis ja, hvordan kan man bevise det?

[Cauchy]

Har ikke tid til å sette meg ned å prøve å vise dette, men observerer raskt dette:

Skal dette stemme må du også ha en begrensning på x.

La oss se på spesialtilfeller:

x=1
Da får du 1+1+1+1+1+1+1+1.....som opplagt divergerer

x=2
Bedre sjanser for konvergens her, siden 1/2<1, men se hva vi får:

1/2+1/4+1/9....=1/3 i følge deg

Merk at bare det første leddet i rekka blir større enn dette, og siden alle ledd er større enn null kan det jo ikke stemme!

Observerer dessuten at for alle x<1 så har vi 1/x>1.
Da vil (1/x)^n vokse over alle grenser når n (n>0) vokser, så da kan vi ikke ha konvergens.

Altså mulig at det stemmer for enkelte x, isåfall vil jeg gjerne se hvilke.
Dette ble skrevet i full fart, så jeg tar forbehold for grove feil:)

[TrulsBR]

Skrivefeil, jeg mente at det blir lik 1/(X-1), slik at 1/2 + 1/4 ... 1/n blir 1. X er vel som sagt begrenset til aa vaere mellom 1 og uendelig.
Som tidligere er jeg ikke sikker paa at dette stemmer, da jeg bare kom til aa tenke paa det, og proevde litt paa kalkulatoren, men det hadde vaert morsomt aa vite om det faktisk er slik.

[TrulsBR]

Oups, enda en feil.
Stemmer det hvis x er mellom 2 og uendelig og n er fra 1 til uendelig?

[Bernoulli]

Er du kjent med en geometrisk sum?

[TrulsBR]

Nei, hva er det?

[Cauchy]

Det er en rekke på formen du skrev, som har spesielle krav for å konvergere: Sjekk ut

http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html

og se på resultatene (6), (7) og (8)...

Da finner du nok din løsning

[TrulsBR]

Konvergere vil da vaere det motsatte av aa divergere?
Altsaa at selv om n gaar mot uendelig gjoer ikke svaret det?
Jeg kan ikke si at jeg helt skjoente det som staar paa Mathworld-sidene...

[Cauchy]

Konvergere er det motsatte av divergere ja, dvs at rekken har en endelig sum, selv om den her har uendelig mange ledd!Siden spørsmålet står under vdg, regner jeg med at du går GK. Tror dette er pensum i 2MX!

[TrulsBR]

GK i Frankrike, ja. Vi har ikke hatt noe om rekker her nede..
Hvordan beviser man at rekker konvergerer og ikke divergerer?
Hva er denne geometriske summen?

[Cauchy]

Å vise slikt kan være ganske vanskelig, det er mange kriterier som MÅ være oppfyllt, men ikke alltid er tilstrekkelig, f.eks. må leddene gå mot null når antall ledd går mot uendelig. Konvergens av rekker er noe mange av de store matematikerne har regnet mye på. Når det gjelder geometriske rekker er det hele ganske greit. De er på formen

[sigma][/sigma]x[sup]n-1[/sup] = (1-x[sup]k[/sup])/(1-x), n=1-->k

Lar vi nå k-->uendelig har vi din rekke. Det hele konvergerer følgelig når

x[sup]k[/sup] går mot null når k-->uendelig, dvs abs(x)<1...

abs(x)=absoluttverdien[sigma][/sigma]

[TrulsBR]

Hmmm.. Dette var ikke lett aa faa taket paa!

(1/x)^n = 1/(x-1)
n gaar fra 1 til uendelig
x fra 2 til uendelig

1/2 -> 1
1/3 -> 1/2
etc.. Dette blir vel, som de sier paa Mathworld-sidene, naar x er mellom -1 og 1, er det saann aa forstaa?
Stemmer dette?

[Cauchy]

Rekken du har har flg sum

[sigma][/sigma](1/x)[sup]n[/sup] =(1/x)/(1-(1/x)) ,n=1...uendelig

for alle x slik at abs(1/x)<1

Manipulerer svaret litt, dvs utvider brøken med x:

(1/x)/(1-(1/x))=1/(x-1)

Så det du kom frem til stemmer for alle x<-1, og alle x>1[sigma][/sigma]

[TrulsBR]

Hehe, da er vi enige.
Men er dette bevist paa noen maate?

[Cauchy]

At summen av en vikårlig geometrisk rekke er slik er bevist ja, det er faktisk gjort på den linken jeg sendte tror jeg.