Hvorfor kan man ikke integrere sin^2x med substitusjon?
av typen: setter sinx = u
[symbol:integral] u^2 = (u^3)/(3u') + c = sin^3x/(3*-cosx) + c?
Og jeg vet hvordan man egentlig skal/kan løse den, jeg skjønner bare ikke hvorfor dette blir feil.
spm om integrasjon
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Du har ikke benyttet substitusjon riktig, det er ihvertfall en åpenbar grunn :p
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Prøv og deriver uttrykket du fikk nå. Så ser du at det er feil.Heppet skrev:Hvorfor kan man ikke integrere sin^2x med substitusjon?
av typen: setter sinx = u
[symbol:integral] u^2 = (u^3)/(3u') + c = sin^3x/(3*-cosx) + c?
Og jeg vet hvordan man egentlig skal/kan løse den, jeg skjønner bare ikke hvorfor dette blir feil.
Når du substituerer, må du rote inn den deriverte av uttrykket på en eller annen måte, og det er ikke her.
På samme måte kan du jo konkludere med at
[tex]\int e^{x^2} dx = \int e^u du = e^u+C = e^{x^2}+C[/tex]
Men dette er bare tull.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Altså, jeg vet at det er feil, jeg ser at det er feil, og ser lett at den deriverte av det ikke blir riktig svar. Men jeg har ennå ikke helt taket på nøyaktig hvor det er det blir feil (?). Og jeg roter jo inn den deriverte av uttrykket, det er jo der -cosx i nevneren kommer fra.
-
- Riemann
- Innlegg: 1686
- Registrert: 07/09-2007 19:12
- Sted: Trondheim
[tex]\int cosx sin^2x dx=\int cosx (sinx)^2dx[/tex]
Ser at [tex](sinx)^, = cosx[/tex] og setter:
[tex]u = sinx[/tex]
Bytter ut med "u-verdien":
[tex]\int cosx u^2dx[/tex]
Og her ser vi at vi ikke kan integrere [tex]u[/tex] mhp [tex]x[/tex] så da deriverer vi uttrykket vi satt som [tex]u[/tex], gjør så det om mhp på dx og substituerer (variabelskifte).
Deriverer:
[tex]u=sinx[/tex]
[tex]\frac{du}{dx}=cosx[/tex]
[tex]dx=\frac{du}{cosx}=\frac{1}{cosx}dx[/tex]
Bytter ut [tex]dx[/tex] med [tex]du[/tex]:
[tex]\int cos x \cdot u^2 \cdot \big( \frac{1}{cosx} \big ) du[/tex]
[tex]\int \frac{cosx \cdot u^2}{cosx}du[/tex]
[tex]\int \frac{\cancel{cosx} \cdot u^2}{\cancel{cosx}}du[/tex]
Nå er hele uttrykket omgjort til u'r og det finnes ingen x'r. Dermed kan vi begynne å integrere det nye uttrykket vårt:
[tex]\int u^2 du[/tex]
Regel:
[tex]\frac{1}{r+1}u^{r+1}[/tex]
I dette tilfellet er [tex]r = 2[/tex]:
[tex]\frac {1}{2+1}u^{2+1}[/tex]
[tex]\frac {1}{3}u^{3}[/tex]
[tex]\frac{u^3}{3}[/tex]
Setter inn u for igjen (pga uttrykket i starten var uttrykt med x!)
[tex]u = sinx[/tex]
[tex]\frac{(sinx)^3}{3}=\frac{sin^3x}{3}[/tex]
EDIT: Så feil på oppgaven eller tenkt på en jeg så her en dag og gjorde feil! Denne er korrekt løst hvertfall
Ser at [tex](sinx)^, = cosx[/tex] og setter:
[tex]u = sinx[/tex]
Bytter ut med "u-verdien":
[tex]\int cosx u^2dx[/tex]
Og her ser vi at vi ikke kan integrere [tex]u[/tex] mhp [tex]x[/tex] så da deriverer vi uttrykket vi satt som [tex]u[/tex], gjør så det om mhp på dx og substituerer (variabelskifte).
Deriverer:
[tex]u=sinx[/tex]
[tex]\frac{du}{dx}=cosx[/tex]
[tex]dx=\frac{du}{cosx}=\frac{1}{cosx}dx[/tex]
Bytter ut [tex]dx[/tex] med [tex]du[/tex]:
[tex]\int cos x \cdot u^2 \cdot \big( \frac{1}{cosx} \big ) du[/tex]
[tex]\int \frac{cosx \cdot u^2}{cosx}du[/tex]
[tex]\int \frac{\cancel{cosx} \cdot u^2}{\cancel{cosx}}du[/tex]
Nå er hele uttrykket omgjort til u'r og det finnes ingen x'r. Dermed kan vi begynne å integrere det nye uttrykket vårt:
[tex]\int u^2 du[/tex]
Regel:
[tex]\frac{1}{r+1}u^{r+1}[/tex]
I dette tilfellet er [tex]r = 2[/tex]:
[tex]\frac {1}{2+1}u^{2+1}[/tex]
[tex]\frac {1}{3}u^{3}[/tex]
[tex]\frac{u^3}{3}[/tex]
Setter inn u for igjen (pga uttrykket i starten var uttrykt med x!)
[tex]u = sinx[/tex]
[tex]\frac{(sinx)^3}{3}=\frac{sin^3x}{3}[/tex]
EDIT: Så feil på oppgaven eller tenkt på en jeg så her en dag og gjorde feil! Denne er korrekt løst hvertfall
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Ingeniørmatematikk IV