[tex]\int cosx sin^2x dx=\int cosx (sinx)^2dx[/tex]
Ser at [tex](sinx)^, = cosx[/tex] og setter:
[tex]u = sinx[/tex]
Bytter ut med "u-verdien":
[tex]\int cosx u^2dx[/tex]
Og her ser vi at vi
ikke kan integrere [tex]u[/tex] mhp [tex]x[/tex] så da deriverer vi uttrykket vi satt som [tex]u[/tex], gjør så det om mhp på dx og substituerer (variabelskifte).
Deriverer:
[tex]u=sinx[/tex]
[tex]\frac{du}{dx}=cosx[/tex]
[tex]dx=\frac{du}{cosx}=\frac{1}{cosx}dx[/tex]
Bytter ut [tex]dx[/tex] med [tex]du[/tex]:
[tex]\int cos x \cdot u^2 \cdot \big( \frac{1}{cosx} \big ) du[/tex]
[tex]\int \frac{cosx \cdot u^2}{cosx}du[/tex]
[tex]\int \frac{\cancel{cosx} \cdot u^2}{\cancel{cosx}}du[/tex]
Nå er hele uttrykket omgjort til u'r og det finnes ingen x'r. Dermed kan vi begynne å integrere det nye uttrykket vårt:
[tex]\int u^2 du[/tex]
Regel:
[tex]\frac{1}{r+1}u^{r+1}[/tex]
I dette tilfellet er [tex]r = 2[/tex]:
[tex]\frac {1}{2+1}u^{2+1}[/tex]
[tex]\frac {1}{3}u^{3}[/tex]
[tex]\frac{u^3}{3}[/tex]
Setter inn u for igjen (pga uttrykket i starten var uttrykt med x!)
[tex]u = sinx[/tex]
[tex]\frac{(sinx)^3}{3}=\frac{sin^3x}{3}[/tex]
EDIT: Så feil på oppgaven eller tenkt på en jeg så her en dag og gjorde feil!
![Rolling Eyes :roll:](./images/smilies/icon_rolleyes.gif)
Denne er korrekt løst hvertfall
![Laughing :lol:](./images/smilies/icon_lol.gif)