Side 1 av 1
Vektorregning, 3MX: Vise at punkter ligger på linje?
Lagt inn: 17/02-2009 03:17
av MrB
Hei
Har kjørt meg litt fast på en oppgave her, og håper noen kan hjelpe meg litt:
I pyramiden ABCT med toppunkt T er M midtpunktet på sidekanten CT. Vi setter:
[tex]\vec{a}=\vec{AB}[/tex]
[tex]\vec{b}=\vec{AC}[/tex]
[tex]\vec{c}=\vec{CT}[/tex].
Et punkt P er fastsatt ved at:
[tex]\vec{BP}= \frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{8}\vec{b}+\frac{1}{8}\vec{c} [/tex]
Finn ut om punktene B, P og M ligger på linje.
Hvordan kan jeg "angripe" dette? Tenkte å prøve å bevise at vektorene er parallelle, men det blir bare rot (hadde vært lettere hvis det hadde vært koordinater) :/.
På forhånd takk.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Lagt inn: 17/02-2009 04:04
av Gustav
Punktene ligger på linje hvis og bare hvis
[tex]\vec{BP}\times \vec{BM}=0[/tex]
[tex]\vec{BM}=\vec{BC}+\frac{1}{2}\vec{CT}[/tex]
[tex]\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}=-\vec{a}+\vec{b}[/tex]
[tex]\vec{BM}=-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}[/tex]
Lagt inn: 17/02-2009 09:28
av MrB
Hmm .. Ikke helt med på hvorfor du setter skalarproduktet lik 0 - betyr ikke det at vektorene står ortogonalt på hverandre?
Takk for svar forresten.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Lagt inn: 17/02-2009 10:05
av Gustav
Ikke skalarprodukt, men kryssprodukt;)
Men det er kanksje mer hensiktmessig å løse oppgaven ved å observere at det tre vektorene a,b,c er lineært uavhengige. Sett at \vec{BM}=k\vec{BP} for en konstant k, og sleng alt over på en side. Da må alle koeffisientene være 0 hvis alle punktene er på linje. Sjekk om det er mulig eller om du får en selvmotsigelse, dvs sjekk om en slik k er mulig/eksisterer.
Lagt inn: 17/02-2009 15:02
av MrB
Takker.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Har ikke vært borti kryssprodukt før - vektorregning er vel min svake side.
![Embarassed :oops:](./images/smilies/icon_redface.gif)
Hehe.
Skal prøve meg litt frem etterpå.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Lagt inn: 18/02-2009 01:06
av MrB
Har prøvd meg litt frem nå, men får det ikke helt til:
[tex]\vec{BM}=-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}[/tex]
[tex]\vec{BM}=k\cdot \vec{BP}[/tex]
[tex]-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}=k\cdot \left( \frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{8}\vec{b}+\frac{1}{8}\vec{c}\right)[/tex]
Finner ingen verdi for k som gjør at vektorene som gjør at de blir like ... Men fasiten sier at punktene skal ligge på linje.
På forhånd takk.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Lagt inn: 18/02-2009 03:17
av Gustav
Kan ikke finne noe galt i resonnementet. Er du sikker på at du har skrevet av oppgaven riktig?
Lagt inn: 18/02-2009 22:55
av MrB
Jo, litt "brain malfunction" fra min side- hadde skrevet definisjonen av den ene vektoren feil. Fikk det til nå - de lå på linje.
Takk for hjelpen forresten.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Lagt inn: 22/02-2009 21:59
av MrB
Lurte forresten på en ting til. Det at kryssproduktet til to vektorer er null, betyr det at vinkelen mellom dem ligger på linje - og derfor at punktene ligger på linje? Er dette en generell regel?
Har lest meg litt opp på dette med kryssprodukt, og det virker mye elegant enn å sjekke om de er parallelle etc.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Lagt inn: 22/02-2009 22:03
av Vektormannen
Stemmer, hvis kryssproduktet er 0 så er vinkelen mellom vektorene 0 eller 180 grader, og da er vektorene parallelle.