Andrederivert

[akihc]

Oppgave 77;
Vi betrakter funksjonen [tex]\: f(x)=\frac{2xe^x}{x+4}[/tex]
Der x er ulik -4.

a) Bestem x-koordinatene til eventuelle vendepunkter.

Prøvde;

Fant først førstedervert;

[tex]f`(x)=\frac{8e^x+2x^2e^x+8xe^x}{(x+4)^2}[/tex]

Fant videre andrederivert;

[tex]f``(x)`=\frac{-4x^3e^x-22x^2e^x-12xe^x+ 72e^x}{(x+4)^4}[/tex]

Faktoriserer og får;

[tex]f``(x)=\frac{-2e^x\cdot(2x^3+11x^2+6x-36)}{(x+4)^4}[/tex]

Det gir;

[tex]-2e^x=0 \;[/tex]eller[tex]\; 2x^3+11x^2+6x-36=0[/tex]

Siden e^x er større enn 0 har vi;

[tex] 2x^3+11x^2+6x-36=0[/tex]

Det gir to immaginære tall for x og en ikke immaginær x verdi lik 1,411.

Mitt spørsmål er som følger;

1. Er dette x koordinaten som oppgaven var ute etter?
2. Hvis du tegner grafen i kalkulator, ser du da at vendepunktet har x koordinat x=1,411... ?

[mrcreosote]

Uttrykket for f'(x) ser bra ut, men finn den riktige f''(x) før du går videre.

[akihc]

Vel, jeg prøver igjen å finne andrederiverte;

[tex]f`(x)=\frac{8e^x+2x^2e^x+8xe^x}{(x+4)^2}[/tex]

[tex]f``(x) \frac{(8e^x+2x^2e^x+8xe^x)` \cdot ((x+4)^2)-(8e^x+2x^2e^x+8xe^x) \cdot ((x+4)^2)`}{((x+4)^2)^2}[/tex]

[tex]f``(x)=\frac{(8 \cdot (e^x)` + (2x^2e^x)` + (8xe^x)`) \cdot ((x+4)^2) -(8e^x+2x^2e^x+8xe^x)\cdot 2(x+4) \cdot (x+4)`}{(x+4)^4}[/tex]
[tex]f``(x)=\frac{8e^x+ ((2x^2)` \cdot e^x+ 2x^2 \cdot (e^x)`)+ ((8x)` \cdot e^x + 8x \cdot (e^x)`) \cdot ((x+4)^2)-(8e^x+2x^2e^x+8xe^x)\cdot (2(x+4) \cdot 1)}{x+4)^4[/tex]

[tex]f``(x)=8e^x+(4xe^x+2x^2e^x)+(8e^x+8xe^x) \cdot (x^2 + 8x +16) -(8e^x+2x^2e^x+8xe^x)\cdot (2x+8)}{(x+4)^4}[/tex]

[tex]f``(x)=\frac{8e^x +4xe^x+2x^2e^x+8x^2e^x+64xe^x+128e^x-16xe^x-64e^x-4x^3e^x-16x^2e^x-16x^2e^x-64xe^x}{(x+4)^4}[/tex]

[tex]f``(x)=\frac{-4x^3e^x-22x^2e^x-12xe^x+72e^x}{(x+4)^4}[/tex]

Det er den samme jeg fikk isted.

Hvor er det feilen ligger?

[meCarnival]

Gjør det lettere for deg selv og heller faktoriser før du deriverer hvis mulig...
Dette gjør at du ser mye fortere når man kan fortkorte bort uttrykk ect så veldig kjekt synes jeg ...

[tex]\frac{2e^{x}(x^2+4x+4)}{(x+4)^2}[/tex]

[tex]u = 2e^{x}[/tex]
[tex]u^, = 2e^{x}[/tex]

[tex]v = x^2+4x+4[/tex]
[tex]v^, = 2x+4[/tex]

[tex]w = (x+4)^2[/tex]
[tex]w^,= 2x+8[/tex]

Så begynner vi å sette inn i en litt utvidet kvotientformel:

[tex]y^, = \frac{(u^, \cdot v + u \cdot v^,)\cdot w - (u\cdot v) \cdot w^,}{w^2}[/tex]

[tex]y^, = \frac{\(2e^{x} \cdot (x^2+4x+4) + 2e^{x} \cdot (2x+4)\) \cdot (x+4)^2 - \(2e^{x} \cdot (x^2+4x+4)\) \cdot (2x+8)}{\(\(x+4\)^2\)^2}[/tex]

[tex]y^, = \frac{2e^{x}\((x^2+4x+4) + (2x+4)\) \cdot (x+4)^2 - 2e^{x} \( (x^2+4x+4)\) \cdot (2x+8)}{\(x+4\)^4}[/tex]

[tex]y^, = \frac{2e^{x}\((x^2+6x+8) \cdot (x+4)^2 - (x^2+4x+4) \cdot (2x+8)\)}{\(x+4\)^4}[/tex]

[tex]y^, = \frac{2e^{x}\((x+2)(x+4) \cdot (x+4)^2 - (x+2)^2 \cdot 2(x+4)\)}{\(x+4\)^4}[/tex]

[tex]y^, = \frac{2e^{x}\((x+2)(x+4)^2 - 2(x+2)^2\)}{\(x+4\)^3}[/tex]

Eventuelt, men faktorisert ser mye penere ut:

[tex]y^, = \frac{2e^{x}\(x^3+8x^2+24x+24\)}{\(x+4\)^3}[/tex]

[meCarnival]

[tex]f``(x)=\frac{(8 \cdot (e^x)` + (2x^2e^x)` + (8xe^x)`) \cdot ((x+4)^2) -(8e^x+2x^2e^x+8xe^x)\cdot 2(x+4) \cdot (x+4)`}{(x+4)^4}[/tex]

[tex]f``(x)=\frac{8e^x+ ((2x^2)` \cdot e^x+ 2x^2 \cdot (e^x)`)+ ((8x)` \cdot e^x + 8x \cdot (e^x)`) \cdot ((x+4)^2)-(8e^x+2x^2e^x+8xe^x)\cdot (2(x+4) \cdot 1)}{x+4)^4[/tex]

[tex]f``(x)=8e^x+(4xe^x+2x^2e^x)+(8e^x+8xe^x) \cdot (x^2 + 8x +16) -(8e^x+2x^2e^x+8xe^x)\cdot (2x+8)}{(x+4)^4}[/tex]

[tex](8 \cdot (e^x)` + (2x^2e^x)` + (8xe^x)`) \cdot (x+4)^2 \,\,\neq \,\, 8e^x+ ((2x^2)` \cdot e^x+ 2x^2 \cdot (e^x)`)+ ((8x)` \cdot e^x + 8x \cdot (e^x)`) \cdot (x+4)^2[/tex]


Jeg fant en feilen som utgjør alle de påfølgende feilene. Den er i leddene før minusen i telleren...

Du setter [tex]8e^{x}[/tex] utenfor først så ganger du ut og glemmer parentesene din og multipliserer dermed kun [tex](x+4)^2[/tex] men den ene parentesen etter du har utledet og fått masse ledd... Hold ting faktorisert så er blir det fort mye lettere...

[tex]f``(x)=\frac{8e^x+(4xe^x+2x^2e^x)+(8e^x+8xe^x) \cdot (x^2 + 8x +16) - (8e^x+2x^2e^x+8xe^x)\cdot (2x+8)}{(x+4)^4}[/tex]

[tex]f``(x)=\frac{8e^x +4xe^x+2x^2e^x+8x^2e^x+64xe^x+128e^x-16xe^x-64e^x-4x^3e^x-16x^2e^x-16x^2e^x-64xe^x}{(x+4)^4}[/tex]

Denne feilen påløper seg dermed kraftig, men regner ut også dette her feil...
- Gjelder fortsatt leddene før minusen i telleren, men denne er ikke fra feilen som er fra før av... Feil utgangspunkt, men feil utregning uansett så ville bare påpeke det også siden du spurte etter feil...

[tex]8e^x+(4xe^x+2x^2e^x)+(8e^x+8xe^x) \cdot (x^2 + 8x +16)\,\, \neq \,\, 8e^x +4xe^x+2x^2e^x+8x^2e^x+64xe^x+128e^x[/tex]

Feilen ligger i:
[tex](8e^x+8xe^x) \cdot (x^2 + 8x +16)\,\, \neq \,\,8x^2e^x+64xe^x+128e^x[/tex]

[akihc]

Er det feil i en ledd er de etterfulgte feilinnholdige også.Jeg rettet opp parentesene og fikk fra da jeg faktoriserte, fjerdegradslikning i parentes i teller med 2e^x foran parentes.

[tex]f``(x)=\frac{2e^x(x^4+12x^3+52x^2+120x+96)}{(x+4)^4}[/tex]

Den faktoriserte metoden du viste er mye enklere.
[tex]y^, = \frac{(u^, \cdot v + u \cdot v^,)\cdot w - (u\cdot v) \cdot w^,}{w^2}[/tex]

[tex]f``(-2)=0[/tex]

Dermed er x-koordinaten til vendepunktet x=-2.

Og det var denne vi fant isted i den andre posten med samme oppgaven.

Er du enig i at denne funksjonen f(x) verken har et topp eller bunnpunkt. Men at den har en vendepunkt med x=-2 som den ene koordinaten?