matematikk.net

En mann med masse m henger i en fallskjerm.
Nedover er positiv retning.
Luftmotstanden = kv, der v er farten

mg - ky' = my''

a) Finn den generelle løsningen på differensiallikningen.



(Jeg vil virkelig forstå dette, så om noen kunne gi meg en god forklaring hadde det vært supert!)

skjønner ikke helt diff. lik., mener du:

[tex]ma=mg\,-\,kv[/tex]

jeg mener det jeg skrev ;p

altså: mg - ky' = my''

om den kan gjøres om på, er godt mulig

pjuus skrev:jeg mener det jeg skrev ;p
altså: mg - ky' = my''
om den kan gjøres om på, er godt mulig

OK, dette er vel Newtons 2. lov satt lik tyngdekrafta minus luftmotstanden.
der y er lik posisjonen og y' = v(t) = v og y'' = a(t) = a
da er vel dette rett og slett en 2. ordens homogen diff. likning:

[tex]my" + ky^, - mg=0[/tex]

hvis karakteristiske likning er:

[tex]m\cdot r^2 + k\cdot r - m\cdot g=0[/tex]

med løsningene p og q.

da er generell løsning: [tex]\,\,\,y=A\cdot e^{p t} + B\cdot e^{q t}[/tex]

------------

edit

[tex]mg - ky^, = my^{,,} [/tex]

Betrakter først den homogene ligninga

[tex]my^{,,}+ky^,=0[/tex]

Vi deler på m og innfører en konstant [tex]c=\frac{k}{m}[/tex] for enkelhetsskyld:

[tex]y^{,,}+cy^,=0[/tex]

Anta løsninger på formen [tex]e^{\lambda t}[/tex]. Innsatt i ligninga får vi:

[tex]\lambda^2+c\lambda=0[/tex] med røtter

[tex]\lambda=0[/tex] og [tex]\lambda=-c[/tex]

Pga. lineariteten vil enhver lineærkombinasjon av løsninger være en løsning, så generelt vil

[tex]y=C_1+C_2e^{-ct}[/tex] være løsning (for konstanter [tex]C_1[/tex] og [tex]C_2[/tex]).

Siden den opprinnelige ligningen har et kildeledd vil det være naturlig å anta en partikulærløsning på formen [tex]C_3t[/tex].

(Vi må "jekke opp" med en t siden en konstant allerede er løsning av homogen ligning)

Setter vi inn partikulærløsningen i den opprinnelige ligningen får vi

[tex]kC_3=mg[/tex], så [tex]C_3=\frac{mg}{k}[/tex].

Dette fører til slutt til generell løsning

[tex]y=C_1+C_2e^{-\frac{k}{m}t}+\frac{mg}{k}t[/tex].


Verifikasjon av løsning:

Derivasjon to ganger gir

[tex]y^,=-\frac{kC_2}{m}e^{-\frac{k}{m}t}+\frac{mg}{k}[/tex]

[tex]y^{,,}=\frac{k^2C_2}{m^2}e^{-\frac{k}{m}t}[/tex]

[tex]\Rightarrow my^{,,}+ky^,=mg[/tex].

Dette stemmer:D

Takk.. Jeg skjønte alt utenom den de leddene med C3..

En 2.ordens inhomogen diff.ligning er generelt på formen

[tex]y^{,,}+ay^,+by=f(t)[/tex].

Dersom f(t) er konstant er det "vanlig" å anta at partikulærløsningen er en konstant, men siden den homogene løsningen inneholder et konstantledd også, er det "naturlig" å teste en ny løsning der vi har ganga med t.

Jeg vet ikke hvor mye du kan om diff.ligninger, men slike ting kommer av seg selv med endel øvelse.