Nok en gang integral trøbbel(med en differensiallikning)

[thedole]

Denne gangen er det:
[tex]\int\frac{1}{x^2+1}[/tex]
som gir meg hodebry. Eller, egentlig er det en differensiallikning som er utgangspunktet for hodebryet.
Den ser slik ut:
[tex]y^3\cdot y^, = (y^4+1)cos x[/tex]
Det jeg har gjort med den er:
[tex]\frac{y^3\cdot y^,}{y^4+1} = cos x[/tex]
[tex]\frac{y^3}{(y^2+1)(y^2-1)}dy = cos x dx[/tex]
Forsøkte meg på en delbrøkoppspaltning og endte opp med:
[tex]-\frac12\int\frac{1}{y^2+1}dy+\frac12\int\frac{1}{y^2-1}dy = \int cos x dx[/tex]

[tex]\frac12\int\frac{1}{y^2-1}dy[/tex]
kan vel delbrøkoppspaltes videre, har ikke forsøkt meg på den enda. Men så sant jeg ikke er helt på villspor ifra før så er det altså [tex]\int\frac{1}{x^2+1}dy[/tex] som jeg i første rekke lurer litt på.

[espen180]

[tex]\int \frac{\rm{d}x}{x^2+1}=\arctan(x)[/tex]

For [tex]\int \frac{\rm{d}x}{x^2-1}[/tex] må du faktorisere navneren og bruke delbrøkoppspalting. Vet du hvordan du gjør det?

[meCarnival]

[tex]\frac{y^3}{(y^2+1)(y^2-1)}\,=\,\frac{y^3}{y^4-1^2}=\frac{y^3}{y^4-1}\,\neq\,\frac{y^3}{y^4+1}[/tex]

Prøv deg på substitusjon med [tex]u= y^4+1[/tex] herfra:

[tex]\frac{y^3}{y^4+1}dy=cos(x)dx[/tex]

[thedole]

eeek, ble litt skremt nå. Er det en måte å utlede at [tex]\int\frac{dx}{x^2+1}= arctan(x)[/tex] på som kan få en stakkar til å forstå hvorfor?

Brukte delbrøkoppspaltning for å komme hit, så jeg tror det skal gå greit videre også..
[tex]\frac{dx}{x^2-1}=\frac{dx}{(x+1)(x-1)}=({\frac{A(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{B(x+1)}{(x+1)(x-1)})dx[/tex]
[tex]A(x-1)+B(x+1)=1[/tex]
setter x=1
[tex]A\cdot 0 + B\cdot 2 = 1[/tex]
[tex]B=\frac12[/tex]
setter x=-1
[tex]A\cdot (-2) + B\cdot 0 = 1[/tex]
[tex]A=-\frac12[/tex]

[tex]\frac12\int\frac{1}{y^2-1}dy=\frac14({\int\frac{dy}{x-1}}-\int\frac{dy}{x+1})=\frac14 ln|x-1|-ln|x+1|[/tex]

pheew, svett nå...

[thedole]

[tex]\frac{y^3}{(y^2+1)(y^2-1)}\,=\,\frac{y^3}{y^4-1^2}=\frac{y^3}{y^4-1}\,\neq\,\frac{y^3}{y^4+1}[/tex]

Prøv deg på substitusjon med [tex]u= y^4+1[/tex] herfra:

[tex]\frac{y^3}{y^4+1}dy=cos(x)dx[/tex]

Ahaaaa, og superurk, så ikke før du skrev det her at min originale nevner var [tex]y^4+1[/tex] og ikke [tex]y^4-1[/tex] som jeg tydeligvis har sett med mine fortegnsforvrengnings briller.. Til ny dyst!!

[meCarnival]

[tex]\int\frac{1}{1+x^2}dx = arctan(x) [/tex]

[tex]\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = arcsin(x)[/tex]

Detter bare vet vi, står slik i formelheftet mitt bl.a.
Er mer høgskole pensum dette så derfor var det feil i utregningen din et sted og fant en utledning feil. Prøv på nytt...

[FredrikM]

Detter bare vet vi

Det kom en helt ved navn Mathematicus de Ceulum og besøkte matematikeren Pythagoras en mørk natt for to tusen år siden og fortalte ham dette. Etter det har alle trodd ham.

[meCarnival]

Detter bare vet vi

Det kom en helt ved navn Mathematicus de Ceulum og besøkte matematikeren Pythagoras en mørk natt for to tusen år siden og fortalte ham dette. Etter det har alle trodd ham.

Blir jo misforstått når jeg skriver det sånn ja... Bare fått det opplyst og vet om at det er det som er svaret og slipper vise utregning hver gang for å komme frem til det svaret...

[thedole]

Prøver meg med substitusjon med [tex]u=y^4+1[/tex] men merker jeg er litt usikker her også.

Jeg får:
[tex]du=4y^3[/tex]
[tex]f(u)=\frac{du}{u} = 4\cdot\frac{y^3}{y^4+1}[/tex]

Ser jo at det begynner å ligne noe veldig men blir usikker på hva jeg kan gjøre med dette fire tallet.
kan jeg gjøre slik?
[tex]\int\frac{y^3}{y^4+1} = \frac14\cdot F(u)+C[/tex]

[thedole]

Detter bare vet vi

Det kom en helt ved navn Mathematicus de Ceulum og besøkte matematikeren Pythagoras en mørk natt for to tusen år siden og fortalte ham dette. Etter det har alle trodd ham.

Med fare for å spore av, sier historien noe om hvor mange flasker vin som gikk med på å overbevise pythagoras om dette?

[Tore Tangens]

Pytagoras kunne ikke huske annet enn at det må ha vært et primtall antall flasker. Utover uken dukket det opp rykter om trekant, og Pytagoras måtte i all hast finne på noen matematiske nyvinninger for å dra fokus vekk fra skandalen. Fyllesyk som han var, forekom humoren temmelig tarvelig og fikk ham til å lage rare navn på alt han fant opp. Dette er den dunkle sannheten ingen vet om og heller aldri får vite.

[thedole]

Prøver meg med substitusjon med [tex]u=y^4+1[/tex] men merker jeg er litt usikker her også.

Jeg får:
[tex]du=4y^3[/tex]
[tex]f(u)=\frac{du}{u} = 4\cdot\frac{y^3}{y^4+1}[/tex]

Ser jo at det begynner å ligne noe veldig men blir usikker på hva jeg kan gjøre med dette fire tallet.
kan jeg gjøre slik?
[tex]\int\frac{y^3}{y^4+1} = \frac14\cdot F(u)+C[/tex]

Prøvde jeg og jo sannelig kom jeg frem til fasitsvaret etterhvert, men nå som jeg skulle skrive det inn her fant jeg ut at jeg hadde glemt hele [tex]\frac14[/tex]delen min. Så nå ble jeg plutselig usikker igjen. For når jeg tar med [tex]\frac14[/tex] så får jeg det ikke til å stemme igjen...

Slik gjorde jeg det:
[tex]F(u)=ln|u|+C=ln|y^4+1|+C[/tex]

[tex]ln|y^4+1| = sin(x) +C[/tex]

[tex]e^{ln|y^4+1|} = e^C\cdot e^{sin(x)}[/tex]

[tex]y^4+1 = Ce^{sin(x)}[/tex]

[tex]y^4 = Ce^{sin(x)}-1[/tex]

[tex]y = \left(Ce^{sin(x)}-1\right)^{\frac14}[/tex]

Fasiten er enig med svaret, men har jeg gjort det riktig eller har jeg bare laget mitt eget matematiske "ormehull" som har gitt meg muligheten til å ta en snarvei gjenom det matematiske univers?

[espen180]

eeek, ble litt skremt nå. Er det en måte å utlede at [tex]\int\frac{dx}{x^2+1}= arctan(x)[/tex] på som kan få en stakkar til å forstå hvorfor?

Ifølge det jeg vet kan dette utledes ved implisitt derivasjon.

[FredrikM]

Matteboken vår viste det vha omvendte funksjoner. Var visst et teorem som sa noe sånt som
[tex]f^\prime(x)=\frac{1}{f^\prime(y)[/tex]

Eller noe sånt. Sikkert feil. Husker så dårlig. Men noe sånt ihvertfall.

[espen180]

[tex]f^\prime(c)=\frac{1}{{f^{-1}}^\prime(c)}[/tex] der [tex]c[/tex] er en konstant.

Slik står det ihvertfall i min bok Calculus fra MIT.