Diferensiallikning til besvær

[thedole]

Dette er oppgaven:
[tex]e^xy^,=e^yx[/tex]

Og dette er det jeg har gjort så langt:
[tex]e^x\frac{dy}{dx}=e^yx[/tex]

[tex]\frac{dy}{e^y}=\frac{x}{e^x}dx[/tex]

[tex]\int e^{-y}dy = \int e^{-x}dx[/tex]

[tex]-e^{-y}=-e^{-x}x-\int -e^{-x}[/tex]

[tex]-e^{-y}=-e^{-x}x-e^{-x}-C[/tex]

[tex]-e^{-y}=-e^{-x}(x+1)-C[/tex]

Så da er det egentlig to spørsmål..
1. Stemmer det jeg har gjort så langt?

2. jeg regner med at jeg skal ta ln på begge sider her, men ble litt usikker på hva som er lov og ikke lov, spesielt med tanke på "-C" leddet. Om det ikke var for det så hadde det jo vært grei skuring. Det er sikkert grei skuring uansett men jeg har vel bare gått i lås i toppetasjen igjen..

[meCarnival]

1.
Ja, men du har glemt x'n i dx integralet, men du har tat høyde for dette i utregningen...

2.
Er ikke helt sikkert, men da får noen andre rette meg eventuelt...

[tex]-e^{-y}=-e^{-x}(x+1)+C[/tex]

[tex]-e^{-y}=-e^{-x}(x+1)+C \,\,|\,\, \cdot -1[/tex]

[tex]e^{-y}=e^{-x}(x+1)+C[/tex]

[tex]ln\(e^{-y}\)=ln\(e^{-x}\)+ln(x+1)+ln(C)[/tex]

[tex]-y=-x+ln(x+1)+C[/tex]

[tex]y=x-ln(x+1)+C[/tex]

[Vektormannen]

Det ser ut som du går ut i fra at [tex]\ln(a+b) = \ln a + \ln b[/tex], meCarnival. Det stemmer ikke. Det er ingen regel for å splitte opp logaritmen av en sum.

Her må du bare ta logaritmen av begge sider, og så er det ikke stort mer som kan gjøres:

[tex]-y = \ln(e^{-x}(x+1) + C)[/tex]

[tex]y = -\ln(e^{-x}(x+1) + C)[/tex]

[meCarnival]

ln(ab) = ln(a)+ ln(b) er vel mer den jeg brukte... og tok ln av hvertledd, men antok jeg måtte ta ln til hele siden i et og samme jafs..

[Andreas345]

Forresten..angående C-en din:

[tex]\int e^{-y}dy = \int x\cdot e^{-x}dx[/tex]

[tex]-e^{-y}+C_1=-e^{-x}\cdot (x+1)+C_2[/tex]

[tex]-e^{-y}=-e^{-x}\cdot (x+1)+C_2-C_1[/tex]

[tex]C_2-C_1[/tex] blir jo bare en ny konstant som vi kaller C', så du står igjen med:

[tex]e^{-y}=e^{-x}\cdot (x+1)+C\prime[/tex]

[thedole]

1.
Ja, men du har glemt x'n i dx integralet, men du har tat høyde for dette i utregningen...

Gikk litt for fort i svingene alikevel ja..

2.
Er ikke helt sikkert, men da får noen andre rette meg eventuelt...

[tex]-e^{-y}=-e^{-x}(x+1)+C[/tex]

[tex]-e^{-y}=-e^{-x}(x+1)+C \,\,|\,\, \cdot -1[/tex]

[tex]e^{-y}=e^{-x}(x+1)+C[/tex]

[tex]ln\(e^{-y}\)=ln\(e^{-x}\)+ln(x+1)+ln(C)[/tex]

[tex]-y=-x+ln(x+1)+C[/tex]

[tex]y=x-ln(x+1)+C[/tex]

I fasiten står denne løsningen:
[tex]y(x) = -ln(x+1-Ce^x) +x[/tex]

Også ser jeg at det har kommet svar på det jeg sitter og skriver spørsmål til angående ln(a+b) [symbol:ikke_lik] ln a + ln b.

Hvordan har de fått
[tex]-ln(e^{-x}(x+1)+C) = -ln(x+1-Ce^x) +x[/tex]

ganger man [tex]e^{-x}[/tex] inn i parentesen og får [tex]xe^{-x}+e^{-x}+C[/tex] ...?