matematikk.net

Bruk kalkulatoren til å finne løsningen (røttene) på denne 4.gradslikningen
x4 -3x3 - 3x2 +11x -6 = 0
(passende View-Window er X fra -2,5 til + 3,5 og Y fra -15 til +30 )

Du får en W-liknenede figur som skjærer x-aksen to steder og tangerer ett sted. Du bruker kalkulatorens G-solve og videre ROOT
Likningen har røtter (nullpunkter) for x1= - 2, dobbeltrot for x2=x3= 1, og x4 = 3

Dette skal du kunne løse (finne) med kalkulatoren din !
[/img]

Knut, du er inzane
DRIT BRA

Det er unødvendig å dra fram kalkulatoren for å løysa denne oppgåva. Sit du med ein fjerdegradslikning med heiltalskoeffisientar,

ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0,

så er det første du gjer å leita etter rasjonelle løysningar x = m/n, m og n heiltal utan felles faktorar. Ved å gonga begge sider med n^4 får me då

a*m^4 + bn*m^3 + c*n^2*m^2 + dm*n^3 + en^4 = 0. Av dette sluttar me at m må dela e (elles ville ikkje venstresida kunne vera 0) og n må dela a.

I det gjevne tilfellet x^4 -3x^3 - 3x^2 +11x - 6 = 0 ser me då at eventuelle rasjonelle røter er +/- 1, 2, 3 eller 6. Me sjekker først 1 og -1 (som me alltid sjekker, sidan dei alltid er aktuelle røter). Me observerer lett at 1 er ei rot og at -1 ikkje er det.

Via polynomdivisjon (tilsvarer heilt ordinær divisjon, men med polynom) får me x^4 -3x^3 - 3x^2 +11x - 6 = (x - 1)(x^3 - 2x^2 - 5x + 6), så vidare sjekker me likninga x^3 - 2x^2 - 5x + 6, og finn at 1 framleis er ei rot. Polynomdivisjon gjev vidare x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6), og me sjekker x^2 - x - 6 = 0. Her kjenner du metoden, men det lettaste er å observera at x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2).

Alternativt kunne du unngått polynomdivisjon ved å berre sjekka dei resterande aktuelle rasjonelle røtene. Du ville med det funne 4 røter (ved multiplisitet), og ved algebraens fundamentalteorem veit du at du då har funne alle løysningane til fjerdegradslikninga.

Ein annan metode er å bruka formelen for røter til fjerdegradslikningar - det finst ein generell metode for algebraiske løysningar av fjerdegradslikningar - men dette er berre styr.