matematikk.net

Hei!
Jeg tror det er lurt at dere gjør de oppgavene før e) før dere kan hjelpe meg med oppgaven e).
Det jeg ikke forstår er at den andrederiverte av f(x) lik null gir:
f``(x) = 0
0 = 2 og x = 2.
Hvordan er det da mulig at 0 = 2 er et vendepunkt for grafen f?

I matematikk, når du ender opp med 0=2, da er det ganske sikkert at det er noe muffens noe sted.

Vendepunkter er når den andrederiverte er lik null. Den første funksjonen er konstant lik 2 når den er dobbelderivert: altså aldri lik null! Den har derfor ingen vendepunkter.

Men ifølge fasiten så har den et vendepunkt i x=0. Men siden du mener det, så skal jeg se bort i fra det fasitsvaret.

Men hva med x større eller lik 0? kan jo første være et vendepunkt der? Men jeg litt usikker på denne oppsettet av funksjoner.. Aldri regnet på de før...

Lodve.

Den første funksjonen, [tex]x^2 - \frac12 x + 4[/tex], har dobbelderivert lik 2. 2 blir aldri 0, så denne funksjonen har ikke noe vendepunkt.

Så den andre funksjonen.
[tex]\frac13 x^3 - 2x^2 + 4[/tex]
Den deriverte blir:
[tex]x^2 - 4x[/tex]
Og den dobbelderiverte blir:
[tex]2x - 4[/tex]
Setter den dobbelderiverte lik 0:
[tex]2x - 4 = 0 \\ 2x = 4 \\ x = 2[/tex]

Den andre funksjonen har altså vendepunkt i x=2, og siden denne funksjonen er tellende for alle [tex]x \geq 0[/tex], så er dette altså vendepunktet.

OK, jeg skjønner. Takk for alle svar folkens. Setter utrolig mye pris på det

Men fasiten har rett i at den sammensatte funksjonen har et vendepunkt i x=0. Det er fordi på venstre side, for alle x<0, så er det en såkalt smileparabel (U), mens i punktet x=0 går den over til å bli en surmunn-parabel (hule siden ned).

Derfor er det et vendepunkt. MEN, det er ikke noen vendepunktsTANGENT i dette punktet, fordi tangenten ikke er de samme på høyre og venstre side (sånn som når du skal finne ut om et punkt er deriverbart). Så grafen er kontinuerlig, og det er et vendepunkt, men det går ikke an å tegne en tangent der.

Så funksjonen har vendepunkter i x=0 og x=2, mens vendepunktstangenten bare kan tegnes i x=2.

Halla. Jeg tror jeg skjønte hva du mente. Siden funksjonen f er sammenhengde i punktet x=0, men ikke deriverbar, er det et knekk i det punktet som gjør det umulig å tegne en entydig tanget i punktet x= 0. Men hvis funksjonen var deriverbar i det punktet da? da ville det vært mulig å få tegnet inn ett vendetangent?

Bare glem denne oppgaven et øyeblikk, og la oss tenke på noe helt annet. Hvis jeg ber deg om å finne et toppunkt, da deriverer du, og setter den deriverte lik null, ikke sant?

Men se her:
[tex]f(x) = \left\{ x^2 + 2, \ \ \ x<1 \\ -2x + 5, \ x \geq 1 \right.[/tex]

Hvis du sjekker denne grafen nøye, så vil du finne ut at den er kontinuerlig i punktet x=1, men; den er ikke deriverbar i punktet x=1. Men grafen har likevel et toppunkt i x=1! Så altså; grafen er ikke deriverbar i punktet, altså kan man ikke tegne en entydig tangent i punktet, men det er likevel et toppunkt!

Dette forteller oss at vi ikke trenger å kunne tegne tangenter og derivere et punkt for at det skal være et toppunkt eller bunnpunkt.


Så kan vi se på oppgaven din igjen:
Du har helt rett i at den ikke er deriverbar og at du ikke kan tegne noen entydig tangent i dette punktet, men det kan likevel være et vendepunkt. Et vendepunkt er nemlig ikke definert av å være et punkt der den dobbelderiverte er lik null, men som et punkt der grafen snur fra å ha den hule siden ned, til å ha den hule siden opp. Skjønte du det?

Så derfor er det et vendepunkt i x=0, selv om du ikke kan tegne tangent. I x=2 så er det både et vendepunkt og det er mulig å tegne vendepunktstangenten.

lodve skrev: Men hvis funksjonen var deriverbar i det punktet da? da ville det vært mulig å få tegnet inn ett vendetangent?

Hvis den sammensatte funksjonen hadde vært deriverbar i x=0 ville man kunnet tegne vendetangenten, ja.


Definisjonen av vendepunkt (engelsk:inflection point) er for øvrig formulert i den første setningen på denne Wikipedia-artikkelen: http://en.wikipedia.org/wiki/Inflection_point

Takk for svarene. Svarene har vært svært nyttige for meg med tanke på forståelsen av det med vendepunkt og lignende.

Realist1 skrev:...så er det en såkalt smileparabel (U),... surmunn-parabel (hule siden ned).

Tenkte ikke på at funksjonene kunne være forskjellig på den måten.

Forresten: [tex]\cup[/tex]
[tex]\cap[/tex]

En ting til:
Realist1:
Så kan vi se på oppgaven din igjen:
Du har helt rett i at den ikke er deriverbar og at du ikke kan tegne noen entydig tangent i dette punktet, men det kan likevel være et vendepunkt. Et vendepunkt er nemlig ikke definert av å være et punkt der den dobbelderiverte er lik null, men som et punkt der grafen snur fra å ha den hule siden ned, til å ha den hule siden opp. Skjønte du det? Smile

Så derfor er det et vendepunkt i x=0, selv om du ikke kan tegne tangent. I x=2 så er det både et vendepunkt og det er mulig å tegne vendepunktstangent.

Lodve:
Du er enig i at for at punktet skal kunne være et vendepunkt, så må funksjonen f være kontinuerlig for det punktet (x=0), selv om punktet ikke er deriverbar?

Markonan: Takk
lodve: Jepp. Det kan jo ikke være et vendepunkt hvis det ikke er et punkt i det hele tatt.

lodve skrev: Du er enig i at for at punktet skal kunne være et vendepunkt, så må funksjonen f være kontinuerlig for det punktet (x=0), selv om punktet ikke er deriverbar?

Er ikke sikker på om det er et krav. Tror at både funksjonen og den deriverte kan være diskontinuerlig i et punkt som også er et vendepunkt.

Eksempel

Definér funksjonen [tex]f[/tex]: [tex]\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex] ved at

[tex]f(x)=\left\{(x+1)^2\text{ hvis x<0}\\-(x-1)^2\text{ hvis x\geq 0}\right[/tex]

[tex]f[/tex] har vel et vendepunkt i [tex]x=0[/tex] slik jeg tolker definisjonen.