matematikk.net

[tex]\int{\sqrt{x^2+1}dx}[/tex]

Trenger noen tips her, kommer ikke frem til noe fornuftig i det hele tatt.

Den der er ikke lett å integrere på vgs-nivå tror jeg ... Mulig jeg tar feil, men. Maxima sier hvertfall at det involverer blant annet funksjonen "sinh(x)". I hvilken sammenheng er det du skal integrere dette?

Litt usikker på fremgangsmåten når jeg ser svaret fra 89'n: [tex]\frac{ln|\sqrt{x^2+1}+x|}{2}+\frac{x\sqrt{x^2+1}}{2}[/tex]

Jeg har kommet frem til ett svar, men det er 13 ganger større en det jeg finner ved og bruke kalklis.

Dette er egentli integral som har grensene 0 og 10. Men det har vel ikke så veldig mye og si før vi nermer oss slutten ? Så tar det med i slutten av oppgaven, pga det blir så evi my rot i koden.


[tex]f(x)=\sqrt{x^2+1},f^{,}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \quad u = x^2+1, x=\sqrt{u-1}\\ \\ \int{\int{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx \quad \quad dx = \frac{du}{2x}=\frac{du}{2\sqrt{u-1}}[/tex]

[tex]\int{\int{\frac{\sqrt{u-1}}{2\sqrt{u}\sqrt{u-1}}du=\frac{1}{2}\int{\int{\frac{1}{\sqrt{u}}}du}[/tex]

Jeg deler det opp i to omganger, der jeg først tar integrale av [tex]\frac{1}{2\sqrt{u}}[/tex]



[tex]\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sqrt{u}}=\frac{1}{2}[\frac{2\sqrt{u}}{1}] = \sqrt{u}[/tex]


Jeg tar integrale enda engang og får:

[tex]\int{\sqrt{u}du}=\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{2}{3}u\sqrt{u}[/tex]

Så tilpasser jeg de nye grensene.

[tex]u_{nedre} = 0^2 + 1 = 1, \quad u_{ovre} = 10^2 +1 = 101[/tex]

Da får jeg:
[tex][\frac{2}{3} 101\sqrt{101} - \frac{2}{3}]_{1}^{101} = \frac{2}{3}[101\sqrt{101}-1] \approx 676[/tex]

Jeg har tatt vek en del led, er det noe som er utydli så si ifra, så skal jeg prøve og forklare bedre. Jeg finner ingen feil her, noen innspill?

Et opp-av-hatten-triks, men dette funker: La u være så [tex]x=\frac{e^u-e^{-u}}2[/tex] og regn til du sprekker.

Ikke rart jeg ikke skjønte noe når det dobble intergraler.. Kommer vel til høsten hos meg det =P

mrcreosote skrev:Et opp-av-hatten-triks, men dette funker: La u være så [tex]x=\frac{e^u-e^{-u}}2[/tex] og regn til du sprekker.

Hvor fikk du dette fra? Aldri sett den før :/

Det er hyperbolsk sinus.
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function

Men, er det noen som kan svare meg hvorfor min utregning blir feil?

[tex]\int \sqrt{x^2+1}\,dx[/tex]

Sett [tex]x=\sinh(u)[/tex].

[tex]\Rightarrow dx=\cosh(u)du[/tex]

Da fås

[tex]\int \cosh^2(u)\,du[/tex]

Har at [tex]\cosh^2(u)=\frac{1}{2}(\cosh(2u)+1)[/tex] så integralet blir

[tex]\int \cosh^2(u)\,du=\frac{1}{2}\int \cosh(2u)+1\,du=\frac{1}{4}\sinh(2u)+\frac{1}{2}u+C=\frac{1}{2}(\sinh(u)\cosh(u)+u)+C\\=\frac{1}{2}(x\cosh(asinh(x))+asinh(x))+C[/tex]

Siden [tex]asinh(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})[/tex] er

[tex]\frac{1}{2}(x\cosh(asinh(x))+asinh(x))+C=\frac{1}{4}(x(x+\sqrt{x^2+1}+(x+\sqrt{x^2+1})^{-1}))+\frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{x^2+1})+C[/tex]

Har at

[tex]\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}=-(x-\sqrt{x^2+1})[/tex] så integralet blir

[tex]\frac{1}{4}(x(x+\sqrt{x^2+1}-x+\sqrt{x^2+1}))+\frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{x^2+1})+C=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+1})+\frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{x^2+1})+C[/tex]

gabel skrev:Men, er det noen som kan svare meg hvorfor min utregning blir feil?

Skjønner ikke hvorfor du blander inn dobbeltintegraler her? Hva er det oppgaven egentlig sier? Er oppgaven kun å regne ut integralet i den første posten fra 0 til 10 eller?

Bemerkning: Siden[tex] x+\sqrt{x^2+1}>0[/tex] for alle reelle x, er det unødvendig med absoluttverditegnet inni logaritmen.

Den metoden med å innføre en dobbelt antiderivert ser litt pussig ut i mine øyne...

Er dette virkelig en oppgave på VGS-nivå?

orjan_s skrev:

gabel skrev:Men, er det noen som kan svare meg hvorfor min utregning blir feil?

Skjønner ikke hvorfor du blander inn dobbeltintegraler her? Hva er det oppgaven egentlig sier? Er oppgaven kun å regne ut integralet i den første posten fra 0 til 10 eller?

Nei, det gjør det ikke. Men jeg får forenkla uttrykke endel med og bruke den derivere av funksjonen.

Hvorfor ligger denne under VGS lurer jeg mest på...

Er nok en relativt vanskelig vgs-oppgave, men absolutt overkommelig om man bare blir sparka i riktig retning. Bare fint å ha noe å strekke seg etter.