matematikk.net

Oppgave 3.3 Løs
[tex]\int_\: \frac{x^2-9}{x^2+6x+9}dx[/tex]

Prøvde:
Bruker polynomdivisjon og får;
[tex]x^2+0x-9\: :\: (x^2+6x+9)=1-\frac{6x-18}{x^2+6x+9}[/tex]
[tex]x^2+6x+9[/tex]
-----------------
[tex]\; \:\: -6x-18[/tex]

Faktoriserer nevneren;
[tex]\frac{6x-18}{x^2+6x+9}=\frac{6x-18}{(x+3) \cdot (x+3)[/tex]
Delbrøkoppspalting gir:
[tex]\frac{6x-18}{(x+3)\cdot (x+3)}=\frac{A}{(x+3)} +\frac{B}{(x+3)}[/tex]
Ganger med [tex]\: (x+3) \cdot (x+3) \: [/tex] med alle ledd og får:
[tex]6x-18=A(x+3)+B(x+3)[/tex]

[tex]x^2+6x+9=0[/tex]
Når x=-3 .

Hvis man setter denne x verdien inn for leddet [tex]\:6x-18=A(x+3)+B(x+3)\:[/tex] for å finne hva A eller B ser man at det ikke går.

Hvis man fant A og B kunne man skrive integralet slik:
[tex]\int_\: \frac{x^2-9}{x^2+6x+9}dx=\int_\: 1- \frac{A}{(x+3)} +\frac{B}{(x+3)}dx[/tex]

Hva er feilen,hvor,hvordan blir det riktig?

Et lite hint. Hvis du ser litt nøye på oppgaven du starter med.
[tex](x^2 - 9) = (x+3)(x-3)[/tex]

og
[tex](x^2 + 6x + 9) = (x+3)(x+3)[/tex].

Hvis du er i tvil på en integrasjon du utfører, kan du også sjekke hva svaret blir her:
http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... ndom=false
(Defekt url... copy/paste!).

Den siden har styrt meg i riktig retning mang en gang!

Ok,
Oppgave 3.3 Løs
[tex]\int_\: \frac{x^2-9}{x^2+6x+9}dx[/tex]

Prøver igjen:
[tex]\int_\: \frac{x^2-9}{x^2+6x+9}dx=\int_\: \frac{(x-3)+(x+3)}{(x+3) \cdot (x+3) }dx=\int_\: \frac{x-3}{(x+3)\cdot (x+3)}+\frac{x+3}{(x+3)\cdot(x+3)}dx=\int_\: \frac{x-3}{(x+3)\cdot(x+3)}dx+\int_\: \frac{1}{x+3} dx[/tex]

Hvis riktig til hit hva gjør man videre?

Liten slurveleif.

[tex]\int \frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}dx \;=\; \int \frac{(x-3)\cancel{(x+3)}}{(x+3)\cancel{(x+3)}}dx \;=\; \int \frac{x-3}{x+3}dx [/tex]

Som i første innlegg er det brukt men nå riktig polynomdivisjon og delbrøkoppspalting:

[tex]\int_\: \frac{x-3}{x+3}dx=\int_\: 1-\frac{6}{x+3}dx=x-6ln|x+3|+C[/tex]. Stemmer nu.