matematikk.net

Oppgave 3: Løs
[tex]\int_ \: cos^2 xdx[/tex]

Prøvde:
Ved bruk av enhetsformelen skrev om til:

[tex]\int_ \: cos^2 x dx=\int_ \: 1-sin^2x dx[/tex]

Hvis riktig til hit,hva gjør man videre?

Det hjelper deg egentlig ikke noe som helst å skrive om til [tex]1 - \sin^2x[/tex], da du egentlig står med akkurat samme problemstilling. Jeg ville heller brukt at [tex]\cos 2x = 2\cos^2 x - 1[/tex]

Eventuelt kan du bruke delvis integrasjon (cos^2=cos cos)

Bruker delvis integrasjon for å løse [tex]\: \int_\: cosx \cdot cosxdx[/tex]
[tex]u`(x)=cosx \; u(x)=sinx[/tex]
[tex]v(x)=cos x \; v`(x)=-sinx[/tex]

[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx=sinxcosx+\int_\: sinxsinxdx=sinxcosx+(-cosx\cdot(-cosx))+C=sinxcosx+cosxcosx+C[/tex]

Hvor er feilen?Hvordan blir det da?

Feilen ligger i at du plutselig sier at [tex]\int (sinx)(sinx) dx = (-cosx)(-cosx)[/tex]
Jeg ville heller fulgt Vektormannen sitt tips. Gjør det hele mye enklere

Hva om jeg ikke følger det tipset,hvordan kan jeg da løse det?

Om du absolutt ikke vil det, så kan du forsåvidt bruke 2-3 runder med delvis integrasjon.
Begynne slik som du gjorde, men på [tex]\int sinx*sinx dx[/tex]
Så må du bruke delvisintegrasjon enda en gang.

Vektormannen skrev: [tex]\cos 2x = 2\cos^2 x - 1[/tex]

[tex]2\cos^2 x - 1 = \cos 2x[/tex]

[tex]2\cos^2 x = \cos 2x + 1[/tex]

[tex]\cos^2 x = \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}[/tex]

Altså blir integralet ditt:
[tex]\int \cos^2 x dx \;=\; \frac{1}{2}\int \cos 2x + 1 dx[/tex]

Denne utveien er mye, mye enklere!

[tex]\int \cos^2 x dx \;=\; \frac{1}{2}\int \cos 2x + 1 dx[/tex]

[tex]u=2x[/tex]
[tex]\frac{du}{dx}=2[/tex]
[tex]\frac{1}{2}du=dx[/tex]

[tex]\frac{1}{2}\int_\: (cosu+1)\cdot \frac{1}{2}du[/tex]
[tex]\frac{1}{4}\int_\: (cosu+1)du[/tex]
[tex]\frac{1}{4}\int_\: (cosu+1)du=\frac{1}{4}sinu+\frac{1}{4}u+C=\frac{1}{2}sinxcos+\frac{1}{2}x+C[/tex]

[tex]\: \int_\: cosx \cdot cosxdx[/tex]
[tex]u`(x)=cosx \; u(x)=sinx[/tex]
[tex]v(x)=cos x \; v`(x)=-sinx[/tex]

[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx[/tex]

Bruker delvis integrasjon for [tex]\: \int\: sinx(-sinx)dx[/tex]

[tex]u`(x)=sinx \; u(x)=-cosx[/tex]
[tex]v(x)=-sinx \; v`(x)=cosx[/tex]

Setter inn i utledning over og får;

[tex]\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx=(-sinx) \cdot (-cosx)-\int_\: (-cosx) \cdot (cosx)dx[/tex]

Setter inn :
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx[/tex]
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-((-sinx) \cdot (-cosx)-\int_\: (-cosx) \cdot (cosx)dx)[/tex]
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-((-sinx) \cdot (-cosx)+\int_\: (cosx) \cdot (cosx)dx)[/tex]
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-(sinx) \cdot (cosx)+\int_\: (cosx) \cdot (cosx)dx[/tex]

[tex]2 \int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-sinx \cdot cosx[/tex]

[tex]\int_\: cosxcosxdx=\frac{1}{2}(sinxcosx-sinx \cdot cosx)+C[/tex]

Edit:Innlegget er blitt endret til riktig anngående fortegn.

Ting ser riktig ut så langt.

[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx=sinxcosx-cosxsinx+\int\: cosx\cdot cosx dx[/tex]

Flytt så [tex]\int\: cosx\cdot cosx dx[/tex] over på andre siden, slik at du får [tex]2\int\: cosx\cdot cosx dx[/tex] på venstresiden. Del på to.

Det var det sm var tenkt men når [tex]+ \int_\: cosxcosxdx[/tex], flyttes til venstre siden så skifter det jo fortegn.

Altså får det ikke til å bli:
[tex]\int_\:cosxcosxdx + \int_\: cosxcosx dx\:=2\int_\: cosxcosx dx[/tex] men [tex]\int_\:cosxcosxdx -\int_\:cosxcosx dx=0[/tex]

Da spår jeg en fortegnsfeil ett eller annet sted.

Tenkte det var det;
[tex]\: \int_\: cosx \cdot cosxdx[/tex]
[tex]u`(x)=cosx \; u(x)=sinx[/tex]
[tex]v(x)=cos x \; v`(x)=-sinx[/tex]

[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx[/tex]

Bruker delvis integrasjon for [tex]\: \int\: sinx(-sinx)dx[/tex]

[tex]u`(x)=sinx \; u(x)=-cosx[/tex]
[tex]v(x)=-sinx \; v`(x)=-cosx[/tex]

Setter inn i utledning over og får;

[tex]\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx=(-sinx) \cdot (-cosx)-\int_\: (-cosx) \cdot (-cosx)dx[/tex]

Setter inn :
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx[/tex]
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-((-sinx) \cdot (-cosx)-\int_\: (-cosx) \cdot (-cosx)dx)[/tex]
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-((-sinx) \cdot (-cosx)-\int_\: (cosx) \cdot (cosx)dx)[/tex]
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-(sinx) \cdot (cosx)+\int_\: (cosx) \cdot (cosx)dx[/tex]

Arbeider skrev: [tex]v(x)=-sinx \; v`(x)=cosx[/tex]

Fortegnsfeil.