matematikk.net

Oppgave
Finn arealet til området begrenset av [tex]\:y=x^3-x^2-4x+4 \:[/tex],x-aksen, og linjene x=0 og x=4.

Prøvde:
1.metode

[tex]\int_0^4\: (x^3-x^2-4x+4)dx=\frac{80}{3}[/tex]

2.metode

Eller må man dele opp intervallet? For fra x=1 til x=2 ligger grafen under x-aksen.

Deler man opp får man:
areal over x-akse:
[tex]A_1=\int_0^1\: (x^3-x^2-4x+4)dx=\frac{23}{12}[/tex]

areal under x-akse :
[tex]A_2=- \int_1^2\: (x^3-x^2-4x+4)dx=-\frac{7}{12}[/tex]
[tex]A_2=-(-\frac{7}{12})=\frac{7}{12}[/tex]
areal over x-akse:
[tex]A_3=\int_2^4\: (x^3-x^2-4x+4)dx=\frac{76}{3}[/tex]

Samlet areal blir :
[tex]A=A_1+A_2+A_3=\frac{167}{6}[/tex]

Er 1. eller 2. riktig?

Skal være

[tex]A=\int_0^4\: |x^3-x^2-4x+4|dx[/tex]

Som man ser er det to forskjellige arealer for 1.metode og 2.metode, hvilken av disse to arealene er riktig?

Blir vel riktig med metode en, men kan kjøre absoluttverdier vel...

Sjekk med geogebra, kalkis'n din ect for å se hva som er riktig...

Hvorfor er ikke metode 2 riktig?

Metode 2 er riktig. Når du integrerer har arealene fortegn.

Så hvorfor får man ikke samme svar for metode 1 og metode 2 ?

[tex]\frac {76}{3}+\frac {23}{12} - \frac {7}{12}=\frac {80}{3}[/tex]

Arbeider skrev:Så hvorfor får man ikke samme svar for metode 1 og metode 2 ?

Fordi arealene har fortegn. Hvis arealet ligger under x-aksen trekker du det fra.

Men vi vi har regelen som sier at :

Arealet av et flatesykket under x -aksen avgrenset av grafen og linjene x=a og x=b er gitt ved ;

[tex]A=-\int_a^b f(x) dx[/tex]

For tilfellet for arealet [tex]\: A_2\:[/tex], fra metode 2 har vi;

[tex]- \int_ 1^2(x^3-x^2-4x+4)dx=[\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3-2x^2+4x]^{2}_{1}=-\frac{7}{12}[/tex]

Og siden dette flatestykket ligger under x-aksen får vi på grunn av minustegnet foran integralet til å blir [tex]\: A_2=-(-\frac{7}{12})=\frac{7}{12} \:[/tex] Og ikke [tex]- \frac{7}{12}[/tex].

Fortsatt bestemt på at metode 2 er riktig?

Du kan vel bare droppe den minustegnet som du setter på selv etterpå.. Det står jo foran integralet jo?

Nei,kan ikke bare det fordi hvis man regner ut integralet uten minustegn foran integralet for flatestykker som ligger under x-aksen mellom x=1 og x=2 får man:

[tex]\int_1^2\: (x^3-x^2-4x+4)dx=-\frac{7}{12}[/tex]

Siden dette flatestykket ligger under x-aksen er arealet;

[tex]A_2=-\int_1^2\: (x^3-x^2-4x+4)dx=\frac{7}{12}[/tex]

Hvordan kan dette problemet forklares?

utifra det jeg veit, tar forbehold om feil:

et areal er et areal. det kan ikke regnes med som et negativt areal. Hvis du har et areal under x-aksen kan du snu på aksene slik at arealet blir det samme, bare over x-aksen. Det jeg ville gjort er å regne nullpunktet og ta arealet av hvert av områdene.

eks fra oppgavedatabasen kari der jeg gjorde feil:

Finn det bestemte integralet:
[tex]\displaystyle\int_{-5}^5\frac12xdx =[/tex]
Du svarte: 0


Oppgave nr. 1623 -FEIL-
Finn arealet avgrenset av x-aksen, f(x) = 0,5x, x = -5 og x = 5.
Du svarte: 0
Korrekt svar er: 12,5


arealene nuller hverandre altså ikke ut som jeg først trodde. (hvert areal er lik 6,25)

Hey, poenget er at du skal plusse sammen arealene da!

[tex]\frac%20{76}{3}+\frac%20{23}{12}%20+{(-%20\frac%20{7}{12}\)=\frac%20{80}{3}[/tex]

Så ser egentlig ikke hvor da problemet ligger lengre...

tenker man ikke da bare for eksempel på posisjon, i forhold til tilbakelagt strekning?